![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/End_of_universe.jpg/640px-End_of_universe.jpg&w=640&q=50)
Geometria riemanniana
branca de la geometria diferencial / From Wikipedia, the free encyclopedia
En geometria diferencial, la geometria riemanniana és l'estudi de les varietats diferencials amb mètrica de Riemann, és a dir, d'una aplicació que a cada punt de la varietat li assigna una forma quadràtica definida positiva al seu espai tangent, una aplicació que varia lleugerament d'un punt a un altre. Això dona lloc a idees locals de (entre altres magnituds) angle, longitud de corba i de volum. A partir d'aquestes magnituds, es poden obtenir altres magnituds per integració de les magnituds locals.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/End_of_universe.jpg/320px-End_of_universe.jpg)
Això va ser proposat de forma general per primera vegada per Bernhard Riemann durant el segle xix. Com a casos especials particulars apareixen els dos tipus convencionals (geometria el·líptica i geometria hiperbòlica) de geometria no euclidiana i també la geometria euclidiana. Totes aquestes geometries són tractades sobre la mateixa base, de la mateixa manera que una àmplia gamma de geometries amb propietats mètriques que varien de punt a punt.
Qualsevol varietat diferenciable admet una mètrica de Riemann i aquesta estructura addicional sovint ajuda a solucionar problemes de topologia diferencial. També serveix com a nivell d'entrada per a l'estructura més complicada de les varietats pseudoriemannianes, les quals (en el cas particular de tenir dimensió 4) són objectes principals de la teoria de la relativitat.