Varietat simplèctica
From Wikipedia, the free encyclopedia
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, i més específicament en geometria diferencial, una varietat simplèctica és una varietat diferenciable M dotada d'una 2-forma diferencial tancada i no-degenerada ω, anomenada forma simplèctica. L'estudi de les varietats simplèctiques s'anomena geometria simplèctica o topologia simplèctica. Les varietats simplèctiques sorgeixen naturalment en les formulacions abstractes de la mecànica clàssica, i més específicament de la mecànica hamiltoniana, on l'espai de les fases d'un sistema mecànic és el fibrat cotangent de l'espai de les configuracions; aquest espai de les fases està dotat d'una estructura simplèctica natural.
De la mateixa manera que en la mecànica hamiltoniana la funció hamiltoniana dona lloc a les equacions del moviment, les equacions de Hamilton, en una varietat simplèctica arbitrària (M,ω) qualsevol funció H: M → R dona lloc a un camp vectorial XH dit camp vectorial hamiltonià. Al seu torn, aquest camp vectorial defineix una equació diferencial de primer ordre en M, dita equació de Hamilton. Les seves solucions són les corbes integrals de XH, i constitueixen un flux en M dit flux hamiltonià, que està format per simplectomorfismes. D'acord amb el teorema de Liouville, el flux hamiltonià preserva la forma de volum de l'espai de les fases.
Una forma simplèctica en una varietat M és una 2-forma diferencial tancada i no-degenerada ω.
Una varietat simplèctica és un parell (M,ω) format per una varietat diferenciable M i una forma simplèctica ω en M. Assignar una forma simplèctica ω a una varietat és dotar-la d'una estructura simplèctica.
Sigui (M,ω) una varietat simplèctica. La 2-forma ω essent no-degenerada, defineix per contracció amb els vectors tangents un isomorfisme TM → T*M, el qual permet identificar camps vectorials amb 1-formes diferencials.
Donada una funció H: M → R, la seva diferencial exterior dH és una 1-forma diferencial, i per l'isomorfisme anterior es correspon amb un únic camp vectorial XH en M, anomenat camp vectorial hamiltonià de H. Per definició,
Donades dues funcions f, g en M, la fórmula
defineix una nova funció, anomenada parèntesi de Poisson o claudàtor de Poisson de f i g. L'espai vectorial C∞(M), dotat del parèntesi de Poisson, té una estructura de R-àlgebra de Lie, i l'aplicació f → Xf és un antihomomorfisme d'àlgebres de Lie.
Hi ha un model lineal estàndard, l'espai vectorial simplèctic R2n. Sigui R2n amb la base canònica (v1,...,v2n). Es defineix una forma simplèctica ω de la manera següent: per a tot 1 ≤ i ≤ n posem ω(vi,vn+i) = 1 = -ω(vn+i,vi), i fem que ω sigui nul·la sobre tots els altres parells de vectors de la base. Si In denota la matriu identitat n × n, llavors la matriu Ω d'aquesta forma simplèctica és la matriu per blocs 2n × 2n següent:
Hi ha diverses nocions geomètriques naturals de subvarietat dins d'una varietat simplèctica.
Les subvarietats lagrangianes sorgeixen naturalment en moltes situacions físiques i geomètriques. Un exemple fonamental és el graf d'un simplectomorfisme, que és una subvarietat lagrangiana de la varietat simplèctica de producte (M × M, ω × −ω). En física les subvarietats lagrangianes apareixen per exemple en l'òptica, ja que les càustiques es poden explicar en termes de subvarietats lagrangianes.
Un fibració lagrangiana d'una varietat simplèctica M és una fibració on totes les fibres són subvarietats lagrangianes. Com que M té dimensió parella podem prendre coordenades locals (p1,…,pn,q1,…,qn), i pel teorema de darboux la forma simplèctica ω es pot escriure localment com ω = ∑ dpk ∧ dqk, on d denota la diferencial exterior i ∧ denota el producte exterior. Amb això localment podem pensar M com un fibrat cotangent T* Rn, i la fibració lagrangiana com la fibració trivial π : T* Rn ↠ Rn.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.