Distribució asimètrica de Laplace

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució asimètrica de Laplace (ALD) és una distribució de probabilitat contínua que és una generalització de la distribució de Laplace. De la mateixa manera que la distribució de Laplace consta de dues distribucions exponencials d'escala igual adossades sobre x=m, el Laplace asimètric consta de dues distribucions exponencials d'escala desigual esquena amb esquena al voltant de x=m, ajustat per assegurar la continuïtat i la normalització. La diferència de dues variables distribuïdes exponencialment amb diferents mitjanes i paràmetres de velocitat es distribuirà segons l'ALD. Quan els dos paràmetres de velocitat són iguals, la diferència es distribuirà segons la distribució de Laplace.^[1][2]

Distribució asimètrica de Laplace

Tipus	Distribució geomètrica estable, família exponencial, família escala de localització, Distribució de Laplace multivariant i asymmetric multivariate Laplace distribution (en)

Representació de distribució asimètrica de Laplace.

Caracterització

Funció de densitat de probabilitat

Una variable aleatòria té una distribució asimètrica de Laplace(m, λ, κ) si la seva funció de densitat de probabilitat és ^[3][4]

${\displaystyle f(x;m,\lambda ,\kappa )=\left({\frac {\lambda }{\kappa +1/\kappa }}\right)\,e^{-(x-m)\lambda \,s\kappa ^{s}}}$

on s = sgn (xm), o alternativament:

${\displaystyle f(x;m,\lambda ,\kappa )={\frac {\lambda }{\kappa +1/\kappa }}{\begin{cases}\exp \left((\lambda /\kappa )(x-m)\right)&{\text{if }}x<m\\[4pt]\exp(-\lambda \kappa (x-m))&{\text{if }}x\geq m\end{cases}}}$

Aquí, m és un paràmetre d'ubicació, λ>0 és un paràmetre d'escala i κ és un paràmetre d'asimetria. Quan κ=1, (xm)s κ ^s simplifica a |xm| i la distribució es simplifica a la distribució de Laplace.

Funció de distribució acumulada

La funció de distribució acumulada ve donada per:

${\displaystyle F(x;m,\lambda ,\kappa )={\begin{cases}{\frac {\kappa ^{2}}{1+\kappa ^{2}}}\exp((\lambda /\kappa )(x-m))&{\text{if }}x\leq m\\[4pt]1-{\frac {1}{1+\kappa ^{2}}}\exp(-\lambda \kappa (x-m))&{\text{if }}x>m\end{cases}}}$

Funció característica

La funció característica ALD ve donada per:

${\displaystyle \varphi (t;m,\lambda ,\kappa )={\frac {e^{imt}}{(1+{\frac {it\kappa }{\lambda }})(1-{\frac {it}{\kappa \lambda }})}}}$

Per a m = 0, l'ALD és un membre de la família de distribucions geomètriques estables amb α = 2. Es dedueix que si ${\displaystyle \varphi _{1}}$ i ${\displaystyle \varphi _{2}}$ són dues funcions característiques ALD diferents amb m=0, llavors

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{1/\varphi _{1}+1/\varphi _{2}-1}}}$

Referències

1. Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomaz J.; Podgórski, Krzysztof. Asymmetric Laplace Distributions (en anglès). Boston, MA: Birkhäuser, 2001, p. 133–178. DOI 10.1007/978-1-4612-0173-1_3. ISBN 978-1-4612-0173-1.
2. «5.28: The Laplace Distribution» (en anglès). https://stats.libretexts.org,+05-05-2020.+[Consulta: 18 juny 2023].
3. Kozubowski, Tomasz J.; Podgorski, Krzysztof «"A Multivariate and Asymmetric Generalization of Laplace Distribution"». Computational Statistics, 15, 4, 2000, pàg. 531. DOI: 10.1007/PL00022717 [Consulta: 29 desembre 2015].
4. Jammalamadaka, S. Rao; Kozubowski, Tomasz J. «"New Families of Wrapped Distributions for Modeling Skew Circular Data"». Communications in Statistics – Theory and Methods, 33, 9, 2004, pàg. 2059–2074. DOI: 10.1081/STA-200026570 [Consulta: 13 juny 2011].