From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, el criteri de condensació de Cauchy (que rep el nom del matemàtic francès Augustin Louis Cauchy) és un test de convergència estàndard per sèries infinites.
Sigui una successió decreixent de nombre reals, la sèrie convergeix si i només si la sèrie "condensada" convergeix. A més, si convergeixen, la suma de la sèrie condensada no és superior al doble de la sèrie original.
El criteri de condensació de Cauchy prové d'una esimació més general:
que s'ha d'entendre com una inequació en el conjunt dels reals estesos. La demostració que segueix té el patró de la demostració d'Oresme de la divergència de la sèrie harmònica.
Per entendre la primera inequació, es reagrupen els termes de la primera sèrie entre parèntesis en grups que tenen com a nombre de termes potències creixents de 2. Llavors els elements de cada grup es substitueixen pel més gran d'ells, que és sempre el primer en ser la sèrie decreixent.
Per entendre la segona inequació, es segueix un procediment similar. Primer es tornen a reagrupar i després es substitueixen els termes pels de la segona sèrie. Noti's com en cada cas es substitueix un terme per un més gran (és a dir, un terme anterior en la successió descendent).
Sigui[1] una successió estrictament creixent d'enters positius tals que el ratio de diferències successives estigui limitat, és a dir, que per un valor de es compleixi:
Llavors, sempre que compleixi les condicions del test de Cauchy, la convergència de la sèrie és equivalent a la convergència de:
Prenent tal que , la condensació de Cauchy emergeix com un cas particular d'aquesta generalització.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.