Topologija

Topologija (od grč. τόπος = "mjesto" i λόγος = "nauka"), tj. nauka o topološkim mjestima, područje je matematike koje se bavi svojstvima prostora koja su sačuvana pod neprekidnim deformacijama, kao što su zatezanje i savijanje, ali ne cijepanje ili lijepljenje. Važna topološka svojstva uključuju povezanost i kompaktnost.

Möbiusova traka, koja ima jednu površinu i jednu ivicu, vrsta je objekta koji se proučava u topologiji.

Topologija se razvila kao polje nauke iz geometrije i teorije skupova, kroz analizu koncepata kao što su prostor, dimenzija i transformacija. Takve ideje idu unazad do Gottfrieda Leibniza, koji je u 17. vijeku zamislio geometria situs (grčko-latinski za "geometrija mjesta") i analysis situs (grčko-latinski za "uzimanje bez mjesta"). Termin topologija uveo je Johann Benedict Listing u 19. vijeku iako ideja o topološkom mjestu nije razvijena sve do prvih decenija 20. vijeka. Do sredine 20. vijeka topologija je postala veća grana matematike.

Topologija ima nekoliko polja:

• Opća topologija uspostavlja temeljne aspekte topologije, istražuje svojstva topoloških prostora i proučava koncepte svojstvene za njih. Ona sadrži topologiju tačka-skup, što je temeljna topologija korištena u svim ostalim granama (uključujući teme poput kompaktnosti i spojivosti).
• Algebarska topologija pokušava izmjeriti stepene spojivosti korištenjem algebarskih konstruktora, kao što su homologija i homotopska grupa.
• Diferencijalna topologija bavi se diferencijalnim funkcijama na diferencijalnim višestrukostima. Blisko je povezana sa diferencijalnom geometrijom i zajedno čine geometrijsku teoriju diferencijabilnih višestrukosti.
• Geometrijska topologija primarno proučava mnogostrukosti i njihova proširenja (plasmane) u ostalim mnogostrukostima. Naročito aktivno područje je topologija niže dimenzije, koja proučava višestrukosti od četiri ili manje dimenzija. Ovo uključuje teoriju čvora, nauku o matematičkim čvorovima.

Trodimenzionalni prikaz očvrsnutog trolisnog čvora, najjednostavnijeg netrivijalnog čvora.

Također pogledajte: rječnik topologije za definicije nekih od termina korištenih u topologiji i topološki prostor za više tehnički tretman teme.

Historija

Sedam mostova Königsberga bio je problem koji je riješio Euler.

Topologija je počela s istraživanjem određenih pitanja u geometriji. Eulerov rad iz 1736. vezan za Sedam mostova Königsberga^[1] smatra se jednom od prvih akademskih rasprava u modernoj topologiji.

Termin "Topologie" u njemački jezik uveo je Johann Benedict Listing 1847. u djelu Vorstudien zur Topologie.^[2] On je koristio ovu riječ 10 godina u prepisci prije no što se prvi put pojavila u štampi. Engleska forma topology korištena je 1883. u Listingovoj čitulji u časopisu Nature^[3] za razlikovanje "kvalitativne geometrije od uobičajene geometrije u kojoj su tretirane kvantitativne veze". Termin topolog u smislu specijalista u topologiji korišten je 1905. u magazinu Spectator. Ipak, nijedna od ovih upotreba ne odgovara modernoj definiciji topologije.

Moderna topologija jako zavisi od ideja teorija skupova, koje je razvio Georg Cantor u kasnijem dijelu 19. vijeka. Osim uspostavljanja osnovnih ideja teorije skupova, Cantor je smatrao skup tačaka u Euklidskom prostoru dijelom njegovih studija Fourierovih redova.

Henri Poincaré objavio je Analysis Situs 1895^[4], uvodeći koncepte homotopije i homologije, koje se sada smatraju dijelom algebarske topologije.

Objedinjujući rad Georga Cantora, Vita Volterre, Cesarea Arzele, Jacquesa Hadamarda, Giulija Ascolija i ostalih na funkciji prostora, Maurice Fréchet predstavio je metrički prostor 1906.^[5] Metrički prostor danas se smatra specijalnim slučajem generalnog topološkog prostora. Godine 1914. Felix Hausdorff osmislio je termin "topološki prostor" i dao definiciju za ono što se sada naziva Hausdorffov prostor.^[6] Trenutno, topološki prostor je blaga generalizacija Hausdorffovih prostora, koju je 1922. dao Kazimierz Kuratowski.^{[nedostaje referenca]}

Za daljnji razvoj pogledati: topologija skupa tačaka i algebarska topologija.

Reference

1. Euler, Leonhard, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis
2. Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, str. 67, 1848
3. Tait, Peter Guthrie, "Johann Benedict Listing (obituary)", Nature *27*, 1. 2. 1883, str. 316–317.
4. Poincaré, Henri, "Analysis situs", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895), str. 1–123
5. Fréchet, Maurice, "Sur quelques points du calcul fonctionnel", PhD dissertation, 1906.
6. Hausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit, u: Hausdorff Werke, II (2002), 91–576.

Literatura

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, decembar 1989; ISBN 3-88538-006-4.
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". u James, I. M. (ured.). History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
• Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000; ISBN 0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 1-56025-826-8. (pruža popularni uvod u topologiju i geometriju)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd izd.), Dover Publications Inc., ISBN 0-486-66522-4 CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)

Vanjski linkovi

• Hazewinkel, Michiel, ured. (2001), "Topology, general", Matematička enciklopedija, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Elementary Topology: A First Course – Viro, Ivanov, Njecvjetajev, Harlamov.
• Topologija na Curlie, DMOZ
• The Topological Zoo Arhivirano 4. 2. 2012. na Wayback Machine na The Geometry Centeru
• Atlas topologije
• Topology Course Lecture Notes, Aisling McCluskey i Brian McMaster, Topology Atlas.
• Rječnik topologije (en)
• Moscow 1935: Topology moving towards America, historijski esej Hasslera Whitneya