Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar .
a
→
⋅
b
→
=
b
→
⋅
a
→
=
|
a
→
|
|
b
→
|
cos
ϕ
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \phi }
[1]
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1 . Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90° ) jednak je 0 , jer je kosinus pravog ugla 0 .
Skalarni proizvod je komutativan , distributivan i linearan .
Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a 1 , a 2 , … , a n ] i vektora b = [b 1 , b 2 , … , b n ] :
a
⋅
b
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
gdje Σ označava sabiranje po komponentama.
Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1] :
[
1
3
−
5
]
⋅
[
4
−
2
−
1
]
=
(
1
)
(
4
)
+
(
3
)
(
−
2
)
+
(
−
5
)
(
−
1
)
=
3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.}
Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao
a
⋅
b
=
∑
b
i
¯
a
i
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {{\overline {b_{i}}}a_{i}}}
gdje je
b
i
¯
{\displaystyle {\overline {b_{i}}}}
konjugovano kompleksan broj od
b
i
{\displaystyle b_{i}}
; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je
a
⋅
b
=
b
⋅
a
¯
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}}
Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora . Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod .
Razmotrimo vektor
v
=
v
1
i
+
v
2
j
+
v
3
k
.
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} .\,}
Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v
v
2
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
.
{\displaystyle v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.\,}
Dobijeno je isto kao i
v
⋅
v
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
,
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2},\,}
tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.
Lema 1
v
⋅
v
=
v
2
.
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v^{2}.\,}
Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao
c
=
d
e
f
a
−
b
.
{\displaystyle \mathbf {c} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {a} -\mathbf {b} .\,}
tvoreći trougao sa stranicama a , b i c . Prema kosinusnom teoremu , imamo da je
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\,}
Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo
c
⋅
c
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,}
(1)
Ali pošto je c ≡ a − b , također imamo da je
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\,}
,
što je, prema pravilu distributivnosti , prošireno na
c
⋅
c
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
(
a
⋅
b
)
.
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).\,}
(2)
Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2) , dobijamo
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
(
a
⋅
b
)
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,}
Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa − 2 ostavlja nam
a
⋅
b
=
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \theta .\,}
Q.E.D.
a
×
(
b
×
c
)
=
b
(
a
⋅
c
)
−
c
(
a
⋅
b
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),}
Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici
a
→
⋅
b
→
=
0
⇒
a
→
⊥
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}}
[3]
a
→
a
→
=∣
a
→
∣∣
a
→
∣
cos
0
=∣
a
→
∣
2
=>∣
a
→
∣
a
→
a
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}}
a
→
⊥
b
→
=>
a
→
b
→
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0}
a
→
b
→
=
0
=>
a
→
⊥
b
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}}
ili je bar jedan od vektora
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}
c
o
s
ω
=
a
→
b
→
∣
a
→
∣∣
a
→
∣
{\displaystyle cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}}
(
0
<
ω
<
π
{\displaystyle 0<\omega <\pi }
)
a
→
a
→
≥
0
a
→
a
→
=
0
<=>
a
→
=
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}\geq 0\ {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=0<=>{\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {0}}}
[4]
λ
(
a
→
b
→
)
=
(
λ
a
→
)
b
→
)
=
a
→
(
λ
b
→
)
{\displaystyle \lambda ({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}})=(\lambda {\overrightarrow {a}}){\overrightarrow {b}})={\overrightarrow {a}}(\lambda {\overrightarrow {b}})}
a
→
(
b
→
+
c
→
)
=
a
→
b
→
+
a
→
c
→
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})={\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {c}}}