From Wikipedia, the free encyclopedia
U matematici, geometrijska progresija, ili geometrijski niz, je niz brojeva gdje se svaki član, nakon prvog, pronalazi množenjem prethodnog sa nekim fiksnim brojem, različitim od nule, koji se naziva zajednički omjer. Naprimjer, niz 2, 6, 18, 54, ... je geometrijska progresija sa zajedničkim omjerom 3. Slično tome, 10, 5, 2,5, 1,25, ... je geometrijski niz sa zajedničkim omjerom 1/2. Suma članova geometrijske progresije poznata je pod nazivom geometrijski red.
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Tako je opći oblik geometrijskog niza
a od geometrijskog reda
gdje je r ≠ 0 zajednički omjer, a a je faktor razmjere, jednak početnoj vrijednosti niza (prvi član).
n-ti član geometrijskog niza sa početnom vrijednosti i zajedničkim omjerom r je dat sa
Takav geometrijski niz, također, prati povratnu relaciju
Općenito, da bi provjerili da li dati niz geometrijski, jednostavno se provjeri da li je količnik susjednih članova uvijek isti broj.
Zajednički omjer geometrijskom reda može biti negativan, kada dobijamo alternativni niz, gdje brojevi naizmenično mijenjaju znak (+ ili -). Naprimjer
je geometrijski niz sa zajedničkim omjerom -3.
Suma prvih n elemenata geometrijskog niza dana je s
Ponašanje geometrijskog niza zavisi od vrijednosti zajedničkog omjera.
Ako je zajednički omjer:
Geometrijski nizovi (sa zajedničkim omjerom različitim od -1,1 ili 0) pokazuju eksponencijalni rast ili eksponencijalni pad, nasuprot linearnom rastu (ili padu) aritmetičke progresije kao što je 4, 15, 26, 37, 48, ... (za zajedničkom razlikome 11). Ovaj rezultat uzet je od strane T. R. Malthusa kao matematičku osnovu za njegov Princip polulacije.
Geomtrijski red je suma brojeva u geometrjskoj progresiji:
Moguće je pronaći jednostavniju formulu za ovu sumu ako obje strane gornje jednačine pomnožimo sa , nakon čega ćemo uočiti da je
pošto se svi ostali članovi ponište. Premiještanje članova (za ) daje nam zgodnu formulu za geometrijski red:
Napomena: Ako bi počeli sumirati ne od 0, nego od nekog većeg člana, recimo m, tada bi imali
Diferencirajući ovu formulu po r dozvoljava nam da dobijemo formulu za sumu u obliku
Na primjer:
Za geometrijski red koji sadrži samo parne stepene od pomnožene sa by :
Tada je
Za red samo neparnim stepenima od
i
Beskonačni geometrijski red je beskonačni red čiji susjedni članovi ima zajednički omjer. Takvi redovi konvergiraju ako i samo ako je apsolutna vrijednost zajedničkog omjera manja od jedan ( | r | < 1 ). Njegova vrijednost tada može izračunati preko formule za konačnu sumu
Pošto je:
tada je:
Na primjer, koristeći brojne vrijednosti
Za red koji sadrži samo parne stepene od ,
a za samo neparne stepene,
U slučajevima gdje suma ne počinje od k = 0,
Gornje formule važe samo za | r | < 1. Naredna formula, ustvari, važi za svaku Banachovu algebru, sve dok je r manje od jedan, te, također, u polju p-adičnih brojeva ako je | r |p < 1. Kao u slučaju konačnih suma, možemo je diferencirati kako bi dobili formule za srodne sume. Na primjer,
Ova formula također važi samo za | r | < 1 . Iz ovoga dalje, slijedi da je, za | r | < 1,
Također, beskonačni red 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · je elementarni primjer reda koji konvergira apsolutno.
To je geometrijski red čiji je prvi član 1/2, te čiji je zajednički omjer 1/2, tako da je njegova suma
Inverzni oblik gornjeg reda 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · je jednostavan primjer alternativnog reda koji konvergira apsolutno.
To je geometrijski red čiji je prvi član 1/2, te čiji je zajednički omjer −1/2, tako da je njegova suma
Formula za sumiranje geometrijskog reda važi čak i kada je zajednički omjer kompleksan broj. Ova činjenica može se iskoristita za izračunavanje nekih suma "neočitih" geometrijskih redova, kao što je:
Dokaz za ovu formulu počinje sa
posljedicom Eulerove formule. Uvrštavanjem ove činjenice u gornji red, dobijamo
Ovo predstavlja samo razliku između dva geometrijska reda. Odavde slijedi direktna primjena naše formule za beskonačne geometrijske redove, što zaključuje ovaj dokaz.
Proizvod geometrijske progresije je prouzvod svih članova. Ako su svi članovi pozitivni, tada je moguće brzo izračunati proizvod uzimajući geometrijsku sredinu prvog i posljednjeg člana progresije, te stavljajući tu sredinu na stepen broja članova. (Ovo je veoma slično formuli za sumu članova aritmetičkog niza: uzmete aritmetičku sredinu prvog i posljednjeg člana i pomnožite je sa brojem članova.)
Neka je proizvod predstavljen sa P:
Sada, izvodeći množenje, zaključujemo da je
Primjenljujući sumu aritmetičkog reda, izraz će glasiti
Podižemo obe strane na stepen od 2:
Slijedi da je
što dokazuje tvrdnju.