Apsolutna vrijednost

U matematici, apsolutna vrijednost je njegova brojna vrijednost i pri tom se ne uzima predznak broja .

Grafik apsolutne vrijednosti funkcije za realne brojeve.

Apsolutna vrijednost broja može se smatrati udaljenosti od nule.

Apsolutna vrijednost |x| realnog broja x je maksimalni element para {x,-x}, koga sačinjavaju broj x i njemu suprotan broj -x. Dakle |-3|=3 jer je 3>-3; |x|=-x ako je -x>x, ili ekvivalentno ako je x<0; |x|=x ako je $x>-x, ili ekvivalentno ako je x>0; |x|=0 tada i samo tada kada je x=0.

Primjer

Brojevi 3 i -3 imaju istu apsolutnu vrijednost 3 .

Definicija

za bilo koji realan broj a apsolutna vrijednost |a| je jednaka broju a a ako je a ≥ 0, i −a ako je a < 0. ${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{matrix}a,&a\geq 0\\-a,&a<0\end{matrix}}\right.}$^[1] apsolutna vrijednost uvijek je pozitivna tako |a| ne može biti manja od nule ili 0

Apsolutna vrijednost se može uzeti kao udaljenost datog broja od 0 na brojnoj osi.

Osobine

Apsolutna vrijednost broja a ima osobine :

1. |a| ≥ 0
2. |a| = 0 akko a = 0.
3. |ab| = |a||b|
4. |a/b| = |a| / |b| (ако је b ≠ 0)
5. |a+b| ≤ |a| + |b| ( nejednakost trougla )
6. |a−b| ≥ ||a| − |b||
7. ${\displaystyle \left|a\right|={\sqrt {a^{2}}}}$
8. |a| ≤ b akko −b ≤ a ≤ b
9. |a| ≥ b akko a ≤ −b ili b ≤ a

iz navedenog imamo :

|x − 3| ≤ 9

−9 ≤ x−3 ≤ 9

−6 ≤ x ≤ 12

Kompleksni brojevi

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z. Na slici sr vidi da z i njegov kompleksno konjugirani z imaju istu apsolutnu vrijednost.

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja takođe se naziva i modul kompleksnog broja.

Za ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ data je kao ${\displaystyle |z|={\sqrt {z\,{\overline {z}}}}}$, ( ${\displaystyle {\overline {z}}}$ konjugovana vrijednost broja ${\displaystyle z}$.

Kako je ${\displaystyle z=x+y\,i}$ za ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, imamo

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.^[2]

Kada je kompleksni broj izražen u polarnom obliku.

${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

Za ${\displaystyle r\geq 0}$ i ${\displaystyle \theta }$ realno je

${\displaystyle |z|=r}$.

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}$

${\displaystyle |z|\neq {\sqrt {z^{2}}}}$.

Odnos prema funkciji znaka

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x)}$

ili

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

za ${\displaystyle x\neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}.}$

Diferencijal

Apsolutna funkcija realne vrijednosti ima izvod za svaki ${\displaystyle x\neq 0}$, ali nije diferencijabilna na ${\displaystyle x=0}$.

${\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}}$

Integral

${\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,}$

Udaljenost

Euklidska udaljenost između dvije tačke ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ i ${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$ je

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

${\displaystyle |a-b|={\sqrt {(a-b)^{2}}}.}$

Ako su zadane tačke ${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$ i${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$ imamo

${\displaystyle |a-b|}$	${\displaystyle =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|}$
	${\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|}$
	${\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}.}$

Prava vrijednost funkcije ${\displaystyle d}$ na skupu X × X naziva se vrijednost (ili funkcija udaljenosti) na X, ako zadovoljava sljedeće četiri aksiome:

${\displaystyle d(a,b)\geq 0}$

${\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}$

${\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}$

${\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}$

Apsolutna vrijednost vektora

Apsolutna vrijednost vektora ${\displaystyle v=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ u Euklidskom prostoru ${\displaystyle R^{n}}$ data je kao

${\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}}$.

${\displaystyle |v|}$ se može smatrati dužinom vektora ${\displaystyle v}$.

Izvori

1. Absolute value
2. absolute value
3. Absolute Value

Također pogledajte

• Apsolutna vrijednost (algebra)
• Valuacija (algebra)

Zabilješke

1. absolute value
2. Absolute value

Reference

• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1
• O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand"
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8

Vanjski linkovi

• Ovaj članak sadrži materijal o apsolutna vrijednost sa PlanetMath-a, koji je licenciran po GFDL-u.
• Eric W. Weisstein, Absolute Value na MathWorld-u.