Mjera (matematika)

Mjera je apstraktni matematički pojam, a predstavlja poopćenje pojmova kao što je dužina intervala, površine plohe, zapremine tijela, kardinalnosti skupa i drugih.

Neka je ${\displaystyle X\neq \emptyset }$ proizvoljan skup i ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \sigma }$- algebra podskupova od ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle M\subseteq P(X)}$).

Pod mjerom ${\displaystyle \mu }$ na ${\displaystyle (X,M)}$ podrazumijevamo preslikavanje ${\displaystyle \mu :M\longrightarrow [0,+\infty )}$ za koje vrijedi:

• ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$
• ${\displaystyle \mu (\biguplus _{i\in \mathbf {N} }A_{i})=\sum _{i\in \mathbf {N} }\mu A_{i}}$, gdje su ${\displaystyle A_{i}\in M}$ disjunktni skupovi.

Zadnji uslov nazivamo ${\displaystyle \sigma }$- aditivnost, tj. za mjeru ${\displaystyle \mu }$ kažemo da je ${\displaystyle \sigma }$- aditivna funkcija.

Sa ${\displaystyle (X,M)}$ označavamo izmjeriv prostor, a sa ${\displaystyle (X,M,\mu )}$ prostor mjere.

Skupove ${\displaystyle A\in M}$ nazivamo izmjerivim skupovima.

Za mjeru ${\displaystyle \mu }$ kažemo da je konačna mjera, ako je ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$.

Za mjeru ${\displaystyle \mu }$ kažemo da je ${\displaystyle \sigma }$- konačna, ako je ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in \mathbf {N} }E_{i}}$ i ${\displaystyle \mu (E_{i})<\infty }$ za svako ${\displaystyle i\in \mathbf {N} }$.

Primjer

• Za ${\displaystyle X=\mathbf {R} }$ i ${\displaystyle M=B_{\mathbf {R} }}$, preslikavanje ${\displaystyle \mu }$ definisano sa ${\displaystyle \mu ((a,b])=|b-a|}$ predstavlja mjeru, i to je dužina intervala ${\displaystyle (a,b]}$.