Izomorfizam

U matematici, izomorfizam (grč.: isos "jednak", i morphe "oblik") je binarna mapa f takva da oboje f i njegovo inverzno f −1 jesu homomorfizmi, tj. structure-preserving mappings.

Neformalno, izmorfizam je vrsta mape među objektima, koja pokazuje odnos između dva svojstva ili dvije operacije. Ako postoji izomorfizam između dvije strukture, zovemo ih izomorfnim. U određenom smislu, izomorfni setovi strukturalno identični, ako ignorišemo finije različitosti koje se mogu pronaći u svojim definicijama.

Prema Douglas Hofstadter: "Riječ "izomorfizam" se primjenjuje kada dvije kompleksne strukture mogu da se preklapaju, na način da svaki dio jedne strukture odgovara dijelu druge, gdje "odgovara" znači to da dva dijela igraju slične uloge u njihovim strukturama." (Gödel, Escher, Bach, str. 49)

Svrha

Izomorfizmi se često koriste u matematici, da se uštedi posao i vrijeme. Ako se dobar izomorfizam može primijeniti iz relativno nepoznatog dijela matematike u neku dobro poznatu oblast, u kojoj su mnoge teoreme već dokazane, i već postoje mnoge formule za traženje rezultata, onda se funkcija može koristiti da se prenesu čitavi problemi iz nepoznate teritorije na "čvrsto tlo", gdje je lakše shvatiti probleme i raditi sa njima.

Fizičke analogije

Evo nekih svakodnevnih primjera izomorfnih struktura:

• Čvrsta drvena kocka i čvrsta olovna kocka su obje čvrste kocke, i iako su njihove strukture potpuno različite, ove geometrijske strukture su izomorfne.
• Standardni špil od 52 karte sa zelenom pozadinom i standardni špil igraćih karata sa smeđom pozadinom; iako su boje različite, ovi špilovi su strukturalno izomorfni – ako želimo da igramo karata, nije važno koji špil ćemo koristiti.
• Sahat-kula u Londonu i ručni sat se uvelike razlikuju u gabaritima, ali njihovi mehanizmi za prikaz vremena su izomorfni.
• Šestostrana kockica i kesa iz koje je izvučen broj 1-6 iako je metoda dobijanja broja različite, njihove sposobnosti dobijanja nasumičnog broja su izomorfne. Ovo je primjer funkcionalnog izomorfizma, bez pretpostavke geometrijskog izomorfizma.

Praktični primjer