Granična vrijednost niza je jedan od najstarijih koncepta u matematičkoj analizi. On nam nudi strogu definiciju ideje da niz konvergira prema određenoj tački koju nazivamo granična vrijednost (limes).
| Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Više informacija n, n sin(1/n) ...
n | n sin(1/n) |
1 | 0,841471 |
2 | 0,958851 |
... |
10 | 0,998334 |
... |
100 | 0,999983 |
Zatvori
Kako pozitivni cijeli broj n postaje veći i veći, vrijednost n sin(1/n) postaje proizvoljno bliska broju 1. Možemo reći da je "granična vrijednost niza n sin(1/n) jednaka 1."
- Za niz realnih brojeva
![{\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106b9f21ed0df67d103c473f2af98059abd35fe2)
- Realan broj L naziva se granična vrijednost niza xn, a piše se kao
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596cb427c1e88631d1eed5050aa84f6bb3192a80)
- ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N imamo |xn−L| < ε.
- Za element
se kaže da je granična vrijednost niza, a piše se kao
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596cb427c1e88631d1eed5050aa84f6bb3192a80)
- ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, imamo d(xn,L) < ε.
- Kao generalizacija, za niz tačaka
u topološkom prostoru T:
- Za element
se kaže da je granična vrijednost ovog niza, a piše se kao
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596cb427c1e88631d1eed5050aa84f6bb3192a80)
- ako i samo ako, za svaku okolinu S od L, postoji prirodan broj N, takav da je
za sve ![{\displaystyle n>N.\;}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de44f7e549132922fdba229ff8b97ab86e9673d)
Ako niz ima graničnu vrijednost, kažemo da je niz konvergentan, a da niz konvergira u tu graničnu vrijednost. U suprotnom, niz je divergentan (također pogledajte: oscilacija).
Nulti niz je niz koji konvergira u 0.
- Niz 1, -1, 1, -1, 1, ... je divergentan.
- niz 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... konvergira sa graničnom vrijednosti 1. Ovo je primjer beskonačnog reda.
- Ako je a realan broj sa apsolutno vrijednošću |a| < 1, tada niz an ima graničnu vrijednost 0. Ako je 0 < a, tada niz a1/n ima graničnu vrijednost 1.
Također:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{ ako je }}p>0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36df2149f04283ca75265137fa54d1a0bd3df896)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{ ako je }}|a|<1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf66b68bd2639683a567278854ee2e999a45e492)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984213a84e403b840ffb99c93d2c19686bc8e1af)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ ako je }}a>0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32890d6d650778aa4330ce963ce20be2c37f73cd)