Eulerova formula, koja je dobila naziv po Leonhardu Euleru, je matematička formula u kompleksnoj analizi koja pokazuju duboku povezanost između trigonometrijskih funkcija i kompleksne eksponencijalne funkcije. Eulerova formula iskazuje da je, za svaki realan broj x,
![{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47760ca4e0c60046eda487d6b6b6c997a18edeaa)
- Ovaj članak govori o Eulerovoj formuli u kompleksnoj analizi. Za članak o Eulerovoj formuli u altebarskoj topologiji i poliedričnoj kombinatorici, pogledajte Eulerova karakteristika. Također pogledajte teme nazvane po Euleru.
gdje je e baza prirodnog logaritma, i je imaginarna jedinica, a cos i sin su trigonometrijske funkcije kosinus i sinus, sa argumentom x dat u radijanima (rijetko u stepenima. Formula vrijedi i kada je x kompleksan broj.[1]
Richard Feynman nazvao je Eulerovu formulu "našim draguljem" i "najizvanrednojom formulom u matematici".[2]
Bernoulli je oko 1702. godine zapisao
.
i
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x}}=\ln(1+x),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3dc73ea75bbe93cfeea13abd4e34267327f868)
Navedene jednakosti daju nam uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je Roger Cotes 1714. godine otkrio da je
![{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803a8a3fc5ed9dbca3f8e67c2ef3aea0b4b6fff8)
On nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Oko 1740. Euler je obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula
![{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd01e7a729a9ee4159cbbc19ba06cea976c5f7a7)
je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih redova obje strane izvoda.U to doba niko nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predstavljene u kompleksnoj ravni. Tu vezu je ustanovio Caspar Wessel pedesetak godina kasnije.
Eulerova formula može se predstaviti na način da funkcija
rotira oko koordinantnog početka kompleksne ravni pri čemu x prima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu
je ugao što između duži, koja spaja koordinantni početak kompleksne ravnii s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, i pozitivne realne ose. Pri tome duž( vektor u kompleksnoj ravnini), rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina ugla ourađava se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju
i periodičnih funkcija
i
, gdje je
kompleksni broj, a
realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i za
bilo koji kompleksan broj.
Eulerova formula omogućava prelaz iz prikaza kompleksnog broja u kartezijevim koordinatama u prikaz u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, množenje i stepenovanje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj
može zapisati kao
![{\displaystyle z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|z|e^{i\phi }\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2255f58786ffe4479797e189f425034abd0fda29)
![{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=|z|e^{-i\phi }\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23392af154f8f1b6b2a9d28e90e9c9a0b6bcbf1c)
gdje je
realni dio
imaginarni dio
apsolutna vrijednost ili veličina od ![{\displaystyle z}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
) zadan u radijanima.
![{\displaystyle a=e^{\ln(a)}\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544bd47972c575c08a8af17dba18b2cc0a92f37b)
![{\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41054b92a4d5375162ba227f8ad5ca53b4076811)
![{\displaystyle z=|z|e^{i\phi }=e^{\ln |z|}e^{i\phi }=e^{\ln |z|+i\phi }\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991f34d1acf34786b3f8b4ab20f518c1987edd2e)
![{\displaystyle \ln z=\ln |z|+i\phi \ .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f19db1af303658788ac7aa7d162c1ddde15f3ed)
![{\displaystyle (e^{a})^{k}=e^{ak}\ ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7d4c0ed52bf9dfd23b6e986db10772cb2a70e9)
Eulerova formula je veza između analize i trigonometrija, i daje tumačenje sinus i kosinus funkcija preko eksponencijalne funkcije
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}\\\sin x&=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad72aee3f5cd549295ea255caf0a90a5e8c7a22f)
Izvode se sabiranjem ili Eulerove formule
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\;\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff67f12a3ab2166b150b017a7f2eb71a1177f8c2)
rješavanjem po sin ili cos funkciji.
Ove formule mogu poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta x.
Za
imamo
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(iy)&={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)\\\sin(iy)&={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{e^{y}-e^{-y} \over 2i}=i\sinh(y)\ .\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f2f3df63bd0c67cae53f9a06f98fab66eab91e)
Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodične funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalne funkcije.
- Primjer
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg [}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}{\bigg ]}\ \end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d21492dbb1c013bdae6d58f1f034722ee63033d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos(x)}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x)-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\ \end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b796cf467051a6f1073ecc71d85ed79ac47dfa8)
![{\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a91595ef0946463456b2d0184bdcdb2ae9da7a2)
![{\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}~.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86bc7f7a3cc8d67f1e4faede8ab0ba0814dd0ec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1,\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a447c7186119b2bbe10eb3cfdf5963695b0f40)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d453ec298973d3dc0c734240525d1d3a0bbb58)
Moskowitz, Martin A. (2002). A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. str. 7. ISBN 981-02-4780-X. Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. str. 22–10. ISBN 0-201-02010-6.