U elementarnoj algebri, binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je
![{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57d80d4ca1a3144c8aba185931651657ab3c8bc)
| Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y, te bilo koji nenegativan cijeli broj n. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n!:
![{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae6159fa838435bfa133ed13146e270ae4c4d39)
Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:
![{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e52720a3279a1252f0b68c19477e068c14707d)
![{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83abe29ae9f5b0b7fef3c08438cf1c4a3f7cb46)
![{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245a0078f350439cb01c573802a982514288f7d5)
![{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c68330b062b296108cc6984de4be680f564101f)
Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz
![{\displaystyle \left\{\,x^{k}:k=0,1,2,\dots \,\right\}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73feb05da8773340ab4d23edba1ef71480a4277e)
iz binomnog tipa.
Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije. Kada je n = 0, imamo da je
![{\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8edf254857ff20bd1d91ed72d1c99fda2fa2e4)
Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m. Tada, za n = m + 1
![{\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88bfbcdcd52196bf3ce42a3e1a70291935a59fa2)
![{\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5585c2bca93999af39885d48487a12cb63239dc)
po hipotezi indukcije
![{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e64f94138df28cd3ff72c4622e209fd1f12192)
množeći sa a i b dobijamo
![{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d05efe9231f1cb61d2536fa2badbc53c74b92b3)
izvlačimo član k = 0
![{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c904e96b2ede0d9e7f5731e53ecf4af0863d1d2c)
i kažemo da je j = k − 1
![{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d859049a2765eacdb50d62f8075c4199d0b3d8)
izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane
![{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e618a93bfc846cc18c367d38d3425feb259cb85)
te kombinujemo dobijene sume
![{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a4779b5f9af7f98eb3b68417a213666652bd03)
iz Pascalovog pravila imamo da je
![{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9165efe944fa1c411fb19975da6e3a8ed45d716)
dodajemo u m + 1 članova.
Binomni broj je broj u obliku
(kada je n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:
![{\displaystyle x^{n}\pm y^{n}=(x\pm y)(x^{n-1}\mp x^{n-2}y+\cdots \mp xy^{n-2}+y^{n-1}).\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9371d5d4172c5330f8c00425add878577b56918)
Primjeri:
![{\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec61fa51e3b360f988d7f81761c2145249a27961)
![{\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e3383583256dd237bbcd6bf6e349a7722311a6)
![{\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b045fac3b36928590080f66c0a16f429444eb2)
![{\displaystyle x^{8}-y^{8}=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c345e7c97faf51d006eb0fb6cfb240884849908)
Da bi razložili
na faktore, koristite izraz
![{\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e583bd53d93dbf8988e9386d93be1d81229f6b)
- Binomna distribucija
- Binommna vjerovatnoća
- Inverzni binomni teorem
- Binomni red
- Kombinacija
- Stirlingova aproksimacija
- Multinomni teorem
- Negativna binomnna distribucija
- Pascalov trougao
- Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.