ব্যাসার্ধ ভেক্টর

জ্যামিতিতে ব্যাসার্ধ ভেক্টর(ইংরেজি: Radius Vector) যা অনেক সময় 'অবস্থান ভেক্টর' নামেও পরিচিত , এটি একটি ইউক্লিডিও ভেক্টর যা একটি সাপেক্ষ বিন্দু বা মূল বিন্দু 'O' এর সাপেক্ষে সমতলে অন্য যেকোন বিন্দু 'P' এর অবস্থান(দুরত্ব) নির্দেশ করে। ব্যাসার্ধ ভেক্টরকে সাধারণত r দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ব্যাসার্ধ ভেক্টর মূলত মূলবিন্দু 'O' থেকে সমতলে অন্য যেকোন একটি বিন্দু 'P' এর সরল রৈখিক দুরত্ব নির্দেশ করে।:^[১]

${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.}$

প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দু ${\displaystyle O}$ এর সাপেক্ষে ${\displaystyle P}$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ${\displaystyle {\vec {r}}}$

ব্যাসার্ধ ভেক্টর সবচেয়ে বেশি ব্যবহহৃত হয় ব্যবকলনীয় জ্যামিতি এবং মেকানিক্স এর বিভিন্নক্ষেত্রে তবে মাঝে ভেক্টরিয়াল ক্যালকুলাসেও এর ব্যবহার রয়েছে ।

সাধারণত দ্বিমাত্রিক ও ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিতে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের মাধ্যমে মূল বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করলেও ইউক্লিডিয় জ্যাম্যতিতে যে কোন মাত্রার সমতলে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের মাধ্যমে বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করা যায়।^[২]

দ্বিমাত্রিক

পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রকাশিত দুটি বিন্দু যেখানে 'r' ব্যাসার্ধ ভেক্টর নির্দেশ করছে।

দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করা হয় ${\displaystyle (r,\theta )}$ এর মাধ্যমে। এখানে r হল ব্যাসার্ধ ভেক্টর। [[কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা|কার্তেসী স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করা হয় (x,y) এর মাধ্যমে। কার্তেসীয় মাধ্যমে ব্যাসার্ধ ভেক্টর- ${\displaystyle r={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2})}$

ত্রিমাত্রিক

ত্রিমাত্রিক বক্ররেখা। ব্যাসার্ধ ভেক্টর r স্কেলার রাশি t এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে। লাল রঙের সরলরেখা বক্ররেখার স্পর্শক এবং নীল অংশটুকু অভিলম্ব নির্দেশ করছে।

ত্রিমাত্রিক ব্যবস্থায়, যেকোন বিন্দুর ত্রিমাত্রিক স্থানংক এবং সাধারণত ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের মাধ্যমে সমতলে যে কোন বিন্দুর অবস্থান সহজেই প্রকাশ করা যায়। এজন্য সাধারণত কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করা হয়।I

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} \left(x,y,z\right)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,\phi \right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t),\phi (t))\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,z\right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t))+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\,\!\cdots \\\end{aligned}}}$

যেখানে t এর মাধ্যমে বিভিন্ন আকারের সমতলে বিভিন্ন অক্ষের দিকে দুরত্বকে প্রকাশ করা হয়েছে করছে। এখানে একটি বিন্দুর অবস্থান প্রকাশে তিন প্রকারের অক্ষীয় ব্যবস্থা নির্দেশ করলেও তা মুলত একটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরকেই প্রকাশ করছে।

বহুমাত্রিক

রৈখিক বীজগণিতে বহুমাত্রিক ব্যাসার্ধ ভেক্টরের অস্তিত রয়েছে। একটি ব্যাসার্ধ ভেক্টেরকে অনেকগুলো সাধারণ ভেক্টরের সমন্নয় হিসাবে প্রকাশ করা হয় যা বহুমাত্রিক সমতলে মূল অক্ষে থেকে বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করে।^[৩][৪]

${\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots x_{n}\mathbf {e} _{n}}$