দ্বিঘাত সূত্র

প্রাথমিক বীজগাণিতে, চতুর্ভুজ সমমানের সমাধান হচ্ছে দ্বিঘাত সমীকরণ। বর্গাকার সমাপ্তির, অথবা গ্রাফিং-এ জাতীয় ফ্যাক্টরিং যেমন দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে অন্য কোন উপায়ে পরিবর্তে দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করা হয়। দ্বিগুণ সূত্র ব্যবহার করা প্রায়ই সবচেয়ে সুবিধাজনক উপায়।

মূলসহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ x = ১ এবং x = ৪.

সাধারণ চতুর্ভুজ সমীকরণ হল

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

x একটি অজানা রাশি, যখন a , b , এবং c হল ধ্রুবক সঙ্গে a রাশিটি ০ এর সমতুল্য না। এটি যাচাই করতে পারে যে দ্বিঘাত সূত্রটি রাশিগুলির (a, b, c) মান বসিয়ে দ্বিঘাত সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। উপরের পরামিতকরণের সাথে, দ্বিঘাত সূত্র হল:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

দ্বিঘাত সূত্র দ্বারা প্রদত্ত সমাধানগুলির প্রতিটিকে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল বলা হয়। জ্যামিতিকভাবে, এই শিকড়গুলি x মানগুলির প্রতিনিধিত্ব করে যা কোন প্যারোব্লোকে স্পষ্টভাবে ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ হিসাবে প্রদান করে, x- অক্ষ অতিক্রম করে। পাশাপাশি একটি সূত্র হচ্ছে যে কোনও অধিবৃত্ত শূন্য উৎপন্ন করবে, কোরাড্রাটিক সূত্র অধিবৃত্ত এর সমান্ত্রিকতার অক্ষ প্রদান করবে, এবং তা অবিলম্বে নির্ধারণ করতে পারে যে কত সংখ্যক শূন্য সমীকরণ রয়েছে।

ইতিহাস

ভারতীয় বিজ্ঞানী শ্রীধর আচার্য কর্তৃক এটি আবিষ্কৃত হয়। তাই এটি শ্রীধর আচার্যের সূত্র নামেও পরিচিত। অপর ভারতীয় বিজ্ঞানী ব্রহ্মগুপ্ত ও একই সূত্রের ব্যাখ্যা দেন, তাই এটি ব্রহ্মগুপ্তের সূত্র নামেও পরিচিত।

সূত্রের বিকাশকরণ

বর্গক্ষেত্র সমাপ্তি এর একটি কৌশলগত প্রয়োগের সাথে দ্বিগুণ সূত্রটি তৈরি করা যায়।^[1][2] এই কারণে, শিক্ষাদীক্ষা কখনও কখনও ছাত্র, যারা এইভাবে এই গুরুত্বপূর্ণ সূত্রের পুনঃআবিষ্কারের অনুভব করতে একটি ব্যায়াম যেমন ছেড়ে দেওয়া হয়।^[3][4] স্পষ্ট শিক্ষাদীক্ষা নিম্নরূপ।

a দ্বারা চতুর্ভুজ সমীকরণ বিভাজন করুন, যা অনুমোদিত কারণ a শূন্য না:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}$

সমীকরণের উভয় পাশ থেকে ${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$ বিয়োগ করুন:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.}$

চতুর্ভুজ সমীকরণ এখন এমন একটি ফর্মের বা পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে যে এখন বর্গ সমাপ্ত প্রয়োগ করা যেতে পারে।সুতরাং, সমীকরণ উভয় পক্ষের একটি ধ্রুবক যোগ করুন যেমন বাম হাত একটি সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্র হয়ে।

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2},}$

যা তৈরি করে:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.}$

তদনুসারে, ডানদিকের অংশগুলিকে পুনঃব্যবহারের পরে একটি সাধারণ বিভাজক আছে এবং আমরা প্রাপ্ত হই:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$

বর্গক্ষেত্র এইভাবে সম্পন্ন করা হয়েছে। উভয় পক্ষের বর্গমূল গ্রহণ করে নিম্নলিখিত সমীকরণ উৎপন্ন হয়:

${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}.}$

পৃথকরূপে 'X ' দ্বিঘাত সূত্র দেয়:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$

"±" চিহ্ন ইঙ্গিত দেয় যে উভয়ই

${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{এবং}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান।^[5] এই a ম্যানিপুলেশন সম্পর্কিত ছোটখাট পার্থক্যগুলির সাথে এই উপায়ে অনেকগুলি বিকল্প রয়েছে।

কিছু উৎস, বিশেষ করে বয়স্করা, যেমন চতুর্ভুজ সমীকরণের বিকল্প উপাদানের ব্যবহার করেax² − 2bx + c = 0^[6] বা ax² + 2bx + c = 0,^[7] যেখানে b একটি মাত্রার অর্ধেক বেশি সাধারণ এক। এই সমাধান জন্য সামান্য ভিন্ন ফর্ম ফলাফল, কিন্তু অন্যথায় সমতুল্য।

মুলারের পদ্ধতি তে ব্যবহৃত, এবং ভিয়েত'এর সূত্র থেকে পাওয়া যেতে পারে এমন একটি কম পরিচিত চতুর্ভুজী সূত্র, সমীকরণের মাধ্যমে একই মূলনীতি প্রদান করে:

${\displaystyle x={\frac {-2c}{b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$

তথ্যসূত্র

1. Rich, Barnett; Schmidt, Philip (২০০৪), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw–Hill Companies, আইএসবিএন 0-07-141083-Xউদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) , Chapter 13 §4.4, p. 291
2. Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."
3. Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
4. Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
5. Sterling, Mary Jane (২০১০), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, পৃষ্ঠা 219, আইএসবিএন 978-0-470-55964-2উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
6. Kahan, Willian (নভেম্বর ২০, ২০০৪), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (পিডিএফ), সংগ্রহের তারিখ ২০১২-১২-২৫উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
7. "Quadratic Formula", Proof Wiki, ২০২১-০৩-১০ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা, সংগ্রহের তারিখ ২০১৬-১০-০৮উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

বহিঃসংযোগ