Уравнение на Бернули

В механиката на флуидите, принципът на Бернули гласи, че за невискозен флуид, увеличението на скоростта на потока е придружено винаги или с намаляване на налягането, или с намаляване на потенциалната енергия на флуида. Принципът на Бернули носи името на Даниел Бернули, швейцарски математик и физик, който го публикува за пръв път в неговата книга Hydrodynamica през 1738 г.^[1]

Тази статия е за уравнението от механика на флуидите. За диференциалното уравнение вижте диференциално уравнение на Бернули.

---

Принципът на Бернули важи както за свиваеми флуиди (въздух), така и за несвиваеми (каквито са повечето течни потоци). Връзката между увеличение на скоростта и намаляване на налягането е вярна само за потоци с ниско махово число, т.е. скорост на потока по-малка от скоростта на звука в дадената среда.

Принципът на Бернули се извежда от Закона за запазване на енергията, който гласи, че във всяка точка от дадена токова линия пълната механична енергия е една и съща, т.е. сборът от всички енергии е константа. Оттам увеличение на скоростта на флуида води до увеличаване на кинетичната енергия, следователно до намаляване на налягането или потенциалната енергия.

Формулировка за несвиваем флуид

Уравнението на Бернули, което може да бъде приложено за всеки флуиден елемент по протежението на дадена токова линия, се записва обичайно:

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+gz+{p \over \rho }={\text{constant}}}$

където:

${\displaystyle v\,}$ е скоростта на потока в дадената точка,

${\displaystyle g\,}$ е земното ускорение

${\displaystyle z\,}$ е височината над земната повърхност, която расте обратно на геопотенциала

${\displaystyle p\,}$ е налягането и

${\displaystyle \rho \,}$ е плътността на флуида.

Това уравнение се обобщава за флуид в потенциала на коя да е консервативна сила:

${\displaystyle {v^{2} \over 2}+\Psi +{p \over \rho }={\text{constant}}}$

където ${\displaystyle \Psi }$ е потенциалът на полето. Двете уравнения са еквивалентни за гравитационния потенциал, който се записва Ψ = gz за материални точки близо до земната повърхност (т.е. височината z << R_Земя, където R_Земя е радиусът на Земята).

Това уравнение е валидно в рамките на двете хипотези, под които е изведено:

• Флуидът е несвиваем, т.е. плътността е постоянна по продължение на токовата линия и
• Триенето, предизвикано от вискозните сили е пренебрежимо.

При реалните флуиди триенето не е пренебрежимо, трябва да се вземат предвид и хидравличните загуби, поради което енергията на потока намалява.

Свиваем флуид

За свиваем флуид с баротропично уравнение на състоянието, уравнението на Бернули придобива вида:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}\ +\Psi ={\text{constant}}}$^[2] (константа по протежение на токовата линия)

където:

p е налягането,

ρ – плътността,

v – скоростта на потока и

Ψ е потенциалът на консервативната сила.

Често разглежданите флуиди са адиабатични (разглежданите явления протичат достатъчно бързо, че увеличението на ентропията да може да се пренебрегне). Тогава, горното уравнение придобива вида:

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$^[3] (константа по протежение на токовата линия)

Новите величини в горното уравнение са:

γ – адиабатичен индекс; отношението c_p/c_v, където c_p r c_v са съответно специфични топлинни капацитети при постоянно налягане и постоянен обем,

g е земното ускорение и

z е височината на флуидния елемент над земната повърхност.

Източници

1. Hydrodynamica. Britannica Online Encyclopedia. Посетен на 25 ноември 2012
2. Clarke C. and Carswell B., Astrophysical Fluid Dynamics
3. Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 3.11