Триъгълна призма

Триъгълната призма е призма, на която с основите са триъгълници и има три странични стени. Затова е петостен (пентаедър) с 9 ръба и 6 върха, на който страничните стени в общия случай са успоредници с произволни ъгли. Ако те са наклонени към основите, призмата е наклонена. Възможно е едната странична стена на наклонената призма да е правоъгълник, а другите две да са успоредници – когато наклонът е в направление на височината към страната на основата, която е обща с правоъгълника.

Триъгълна призма

Права триъгълна призма е тази, на която всички странични стени са правоъгълници и са перпендикулярни на основите. Правилна триъгълна призма е тази, на която основите са равностранни триъгълници. Може да бъде наклонена или права. Еднородната триъгълна призма е правилна триъгълна призма с равни ръбове – равностранна триъгълна основа и квадратни страни.

Всички сечения, успоредни на основите, са еднакви триъгълници. Перпендикулярите към страничните стени са в една и съща равнина, която е успоредна на основите при права призма и наклонена към тях при наклонена триъгълна призма.

Наклонена триъгълна призма

Полуправилен (еднороднен) многостен

Правата триъгълна призма е полуправилен многостен или по-общо равномерен многостен, ако основата е правилен триъгълник, а страните са квадрати.

Този полиедър може да се разглежда като пресечен триъгълен осоедър, представен от символа на Шлефли t{2,3}. Може да се разглежда и като директно произведение на триъгълник и сегмент, който е представен като {3}x{}.

Групата на симетрия на права призма с триъгълна основа е D_3h от 12-ти ред. Групата на въртене е D₃ от 6-ти ред. Групата на симетрия не съдържа централна симетрия.

Двойственият многостен на триъгълна призма е триъгълна бипирамида. В химията тя се среща под формата на въглеводорода триъгълен призман.

Обем

Размери за определяне обема на триъгълна призма

Обемът на всяка призма е равен на произведението на площта на основата и разстоянието между основите. В случая, когато основата е триъгълна, просто трябва да се изчисли площта на триъгълника и да се умножи по дължината на призмата:

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}bhl}$,

където ${\displaystyle b}$ е дължината на страната на основата, ${\displaystyle h}$ е височината на триъгълника и ${\displaystyle l}$ е разстоянието между основите (височината на призмата).

Повърхнина

Околната и пълната повърхнина на триъгълна призма се намират по общите формули за произволна призма, когато основите са триъгълници. Те могат да се получат от формата на разгъната призма, която съдържа 3 успоредника и 2 еднакви триъгълника.

Наклонена триъгълна призма

Нека ${\displaystyle a,b}$ и ${\displaystyle c}$ са страните на основите, ${\displaystyle l}$ е околният ръб, наклонен под ъгъл ${\displaystyle \alpha }$ към основата, а ${\displaystyle d}$ е височината на околните стени. Околната (странична) повърхнина ${\displaystyle S_{c}}$ е сума от площите на 3 успоредника със страни ${\displaystyle a,b}$ и ${\displaystyle c}$, които сключват ъгъл ${\displaystyle \alpha }$ с общата им страна ${\displaystyle l}$.
Площта на основите ${\displaystyle B}$ е сума от лицата на два еднакви триъгълника и може да се определи по формулата на Херон, а пълната повърхнина ${\displaystyle S}$ е сума от основната и околната повърхнини.

Разгъната еднородна триъгълна призма

• Околна повърхнина

${\displaystyle S_{c}=(a+b+c)d}$ или

${\displaystyle S_{c}=l(a+b+c)\sin {\alpha }}$

• Основна повърхнина

${\displaystyle B=2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$,

където ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ е полупериметърът на триъгълника.

• Пълна повърхнина

${\displaystyle S=(a+b+c)d+2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ или

${\displaystyle S=l(a+b+c)\sin {\alpha }+2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$.

Права триъгълна призма

При правата призма околният ръб е перпендикулярен на основата (α=90°) и съвпада с височината на страничната стена ${\displaystyle l=d}$.

• Околна повърхнина

${\displaystyle S_{c}=(a+b+c)l}$

• Основна повърхнина

${\displaystyle B=2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

• Пълна повърхнина

${\displaystyle S=(a+b+c)l+2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$.

Правилна триъгълна призма

Основните ръбове са равни ${\displaystyle a=b=c}$.

Наклонена Околна повърхнина ${\displaystyle S_{c}=3ad}$ или ${\displaystyle S_{c}=3al\sin {\alpha }}$ Основна повърхнина ${\displaystyle S_{c}=a^{2}{\sqrt {3}}}$ Пълна повърхнина ${\displaystyle S=3ad+a^{2}{\sqrt {3}}}$ или ${\displaystyle S=3al\sin {\alpha }+a^{2}{\sqrt {3}}}$.

Права Околна повърхнина ${\displaystyle S_{c}=3al}$ Основна повърхнина ${\displaystyle S_{c}=a^{2}{\sqrt {3}}}$ Пълна повърхнина ${\displaystyle S=3al+a^{2}{\sqrt {3}}}$.

Конфигурация на върха за еднородна триъгълна призма

Еднородна триъгълна призма

Всички ръбове са равни ${\displaystyle a=b=c=l}$.

• Околна повърхнина

${\displaystyle S_{c}=3a^{2}}$

• Основна повърхнина

${\displaystyle S_{c}=a^{2}{\sqrt {3}}}$

• Пълна повърхнина

${\displaystyle S=(3+{\sqrt {3}})a^{2}}$.

Пресечена триъгълна призма

Пресечена триъгълна призма

Пресечената права триъгълна призма има пресечена триъгълна повърхност под наклонен ъгъл. ^[1]

Обемът на пресечена триъгълна призма с основна площ ${\displaystyle B}$ и три височини ${\displaystyle h1,h2}$ и ${\displaystyle h3}$ се определя по формулата ^[2]

${\displaystyle V={\frac {B(h_{1}+h_{2}+h_{3})}{3}}.}$

Има пълна D_2h симетрия на сеченията на триъгълна призма без създаване на нови върхове (пресичането на ръбове не се счита за нов връх). Получените многостени имат с 6 стени равнобедрени триъгълници: един многостен, запазващ оригиналните горни и долни триъгълници, и един, запазващ оригиналните квадрати. Двете симетрии на сечението C_3v имат един основен триъгълник, 3 странични самопресичащи се квадрата и 3 равнобедрени триъгълника.

Оригинал	Сечение
Симметрия D3h			Симметрия C3v
2 {3} 3 {4}	3 {4} 6 () v { }	2 {3} 6 () v { }	1 {3} 3 t'{2} 6 () v { }	1 {3} 3 t'{2} 3 () v { }

Свързани многостени и пана

Свързани куполи Триъгълна купола Квадратна купола Петоъгълна купола Шестоъгълна купола (плоска) Свързани призми Куб Петоъгълна призма Шестоъгълна призма Седмоъгълна призма Осмоъгълна призма Деветоъгълна призма Десетоъгълна призма Единадесетоъгълна призма Дванадесетоъгълна призма

Съединения Съединение от четири триъгълни призми (хирално) Съединение от осем триъгълни призми Съединение от десет триъгълни призми (хирално) Съединение от двадесет триъгълни призми Пити завъртяноудължена четиристеноосмостенна пита удължена четиристеноосмостенна пита завъртяна триъгълна призматична пита скосена квадратна призматична пита триъгълна призматична пита тришестоъгълна призматична пита пресечена шестоъгълна призматична пита четиритришестоъгълна призматична пита скосено шестоъгълна призматична пита (хирална) удължена триъгълна призматична пита

Вижте също

• Призма
• Паралелепипед

Източници

1. Kern, William F., Bland, James R. Solid Mensuration with proofs. 1938. OCLC 1035479. с. 81.
2. Volume of truncated prism