Сферична координатна система

Сферична координатна система в математиката и физиката се нарича координатна система за определяне на положението на точка в тримерно пространство с една линейна и две ъглови координати.

Сферични координати (r, θ, φ) с означения по международния стандарт ISO/IEC 80000: радиус-вектор r, зенитен ъгъл θ (тита) и азимут φ (фи). Вместо r, може да се ползва символа ρ (ро).

Сферични координати (r, θ, φ) с означения в някои математически източници: радиус-вектор r, азимут θ, и полярен ъгъл φ. Значенията на θ и φ са разменени спрямо международния стандарт ISO/IEC 80000.

Положението на точката ${\displaystyle P}$ се представя с тройка сферични координати ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$, където ${\displaystyle r}$ е разстоянието на точката от координатното начало (наричано още радиус-вектор или полярен радиус на точката), ${\displaystyle \varphi }$ е нейният хоризонтален ъгъл (азимут), а ${\displaystyle \theta }$ е нейният вертикален или зенитен ъгъл (наричан още полярен ъгъл или ъгъл на инклинация).

В почти всички научни направления (физика, електродинамика, антенно-фидерна техника, радиолокация, астрономия, география, геодезия) е приет международният стандарт ISO/IEC 80000 за обозначаване на азимута с ${\displaystyle \varphi }$ и зенитния ъгъл с ${\displaystyle \theta }$. В някои математически източници е обратно: азимутът се обозначава с ${\displaystyle \theta }$, а зенитният ъгъл с ${\displaystyle \varphi }$, което трябва да се има предвид при ползване на различни източници. ^[1]

Дефиниция

За дефиниция на сферична координатна система се избира някаква равнина, обозначена с ${\displaystyle OXY}$ или ${\displaystyle Z}$, и перпендикулярна на нея ос ${\displaystyle Z}$, която пресича равнината в координатното начало ${\displaystyle O}$. Върху равнината се избира лъч с начало ${\displaystyle O}$, който определя референтния вектор за измерване на азимута (оста ${\displaystyle X}$). Най-често основната равнина ${\displaystyle OXY}$е хоризонтална, а оста ${\displaystyle Z}$ е вертикална и се нарича „полярна ос“, по аналогия с оста на въртене на земното кълбо, минаваща през полюсите.

Сферичните координати ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$ на точка ${\displaystyle P}$ се дефинират като:

• ${\displaystyle r}$ – разстояние от координатното начало ${\displaystyle O}$ до точката на наблюдение ${\displaystyle P}$ или радиус-вектор на точката.
• ${\displaystyle \theta }$ – вертикален ъгъл между полярната ос ${\displaystyle Z}$ и радиус-вектора ${\displaystyle r}$ на точката ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle \varphi }$ – хоризонтален ъгъл между отправната ос ${\displaystyle X}$ и проекцията на радиус-вектора на точката ${\displaystyle P}$ върху равнината ${\displaystyle OXY}$.

Ъгълът, допълващ зенитния ъгъл ${\displaystyle \theta }$ до 90° се нарича ъгъл на място, ъгъл на възвишение или елевация: ${\displaystyle \varepsilon =90^{\circ }-\theta }$

Ъглите ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$ са неопределени при ${\displaystyle r=0}$, а ${\displaystyle \varphi }$ е неопределен при ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ (при ${\displaystyle \theta =0}$ или ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$).

Знакът за азимут се определя от предварително дефинирана положителна посока на въртене спрямо оста ${\displaystyle Z}$. ^[1]

Мерни единици

Ъглите се измерват в градуси (°) или радиани (rad), където ${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi }$[rad]. Мерки на ъгли в градуси се използват най-често в географията, астрономията и инженерните науки. В теоретичната физика и математиката се предпочитат мерки в радиани. Мерната единица за полярен радиус r се определя при дефиницията на координатната система. ^[1]

Граници

При дефиницията на координатната система се поставят гранични стойности за ъглите ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \varphi }$. Обичайно ${\displaystyle \theta \in {\mathopen {[}}0^{\circ },180^{\circ }{\mathclose {]}}}$ и ${\displaystyle \varphi \in {\mathopen {[}}0^{\circ },360^{\circ }{\mathclose {)}}}$ (в радиани: ${\displaystyle \theta \in {\mathopen {[}}0,\pi {\mathclose {]}}}$ и ${\displaystyle \varphi \in {\mathopen {[}}0,2\pi {\mathclose {)}}}$). Предпочитаните граници в географските координатни системи са ${\displaystyle \theta \in {\mathopen {[}}-90^{\circ },90^{\circ }{\mathclose {]}}}$ и ${\displaystyle \varphi \in {\mathopen {(}}-180^{\circ },180^{\circ }{\mathclose {]}}}$. ^[1]

Източници

1. "Spherical coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994].

Външни препратки

• Ъгъл на място на целта
• MathWorld description of spherical coordinates
• Coordinate Converter — converts between polar, Cartesian and spherical coordinates