Локсодрома

Локсодрома или Локсодромия (на гръцки: λοξóς – наклонен – и на гръцки: δρóμος – път, курс) се нарича крива, която пресича всички меридиани под еднакъв ъгъл. В морската навигация движението по локсодрома отговаря на движение по постоянен истински или магнитен курс.

Локсодрома към Северния полюс

История

Първите изследвания върху свойствата на локсодромата публикува португалския математик Педро Нунес в труда си „Tratado de Defensão da Carta de Marear“ през 1537 г.^[1]

Математика

Върху сфера локсодромата е спирала. Едно от основните свойства на картите в Меркаторова проекция е изобразяването на локсодромите като прави линии.

Нека права на карта в Меркаторова проекция свързва две точки с координати ${\displaystyle \left(\varphi _{1},\lambda _{1}\right)}$ и ${\displaystyle \left(\varphi _{2},\lambda _{2}\right)}$. Съответните правоъгълни координати ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ и ${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$ могат да се изчислят по ур. 1.1 и 1.2 (за сфера) или ур. 3.1 и 3.2 (за елипсоид) от трансформациите за Меркаторова проекция^[2].

Азимутът по локсодромата (или истинския курс) се изчислява по формулата:

${\displaystyle Az=\arctan \left[\left(x_{2}-x_{1}\right)/\left(y_{2}-y_{1}\right)\right]}$

(1.1)

Истинското разстояние по локсодромата може да се изчисли по:

${\displaystyle s=\left(M_{2}-M_{1}\right)/\cos Az}$

(1.2)

където ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ са съответните дължини на дъгите по меридиана от екватора за двете точки ${\displaystyle \left(\varphi _{1},\lambda _{1}\right)}$ и ${\displaystyle \left(\varphi _{2},\lambda _{2}\right)}$. Те могат да се изчислят по генерализираната формула за ${\displaystyle M}$:

При известни

${\displaystyle a-}$ голяма полуос на референтния елипсоид

${\displaystyle e-}$ ексцентрицитет на референтния елипсоид

${\displaystyle M=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\varphi }\left[{\frac {1}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{3/2}}}\right]\,d\varphi }$

(1.3)

или като числов ред:

${\displaystyle {\begin{aligned}M=a[&\left(1-e^{2}/4-3e^{4}/64-5e^{6}/256-...\right)\varphi -\\&\left(3e^{2}/8+3e^{4}/32+45e^{6}/1024+...\right)\sin 2\varphi +\\&\left(15e^{4}/256+45e^{6}/1024+...\right)\sin 4\varphi -\\&\left(35e^{6}/3072+...\right)\sin 6\varphi +\\&...]\end{aligned}}}$

(1.3a)

Ако ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$, то ур. 1.2 е неопределено и

${\displaystyle s=a\left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)\cos \varphi /\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{1/2}}$

(1.2a)

• Изображение на локсодрома от полюс до полюс върху сфера при азимути 0°, 45° и 90°
• 
• 
• 

Източници

1. Nunes, Pedro. Tractatus de Sphaera. Tratado de Defensão da Carta de Marear. (pdf) // 1537.^{[неработеща препратка]}.
2. Snyder, John. Map Projections:A Working Manual (USGS Professional Paper: 1395) // USGS, 1987.