Конично сечение в математиката е алгебрична крива от втора степен, която може да се получи от сечението на правилна конична повърхнина с равнина. Видовете конични сечения са били известни още на древните гърци; получават имената си от Аполоний Пергски, който систематично да изследвал свойствата им.
Конични сечения. А) парабола. В) елипса или окръжност. С) хипербола
Три са видовете конични сечения:
елипса – затворена крива с два фокуса. Частен случай е окръжността, която се получава при пресичане на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на оста му.
парабола – отворена крива с един фокус. Получава се при пресичане на конуса с равнина, успоредна на образувателната му.
хипербола – отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.
Думите „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ произхождат от гръцки език и означават съответно „недостиг“ (έλλειψη), „прилагане“ (παραβαλη) и „излишък“ (ὑπερβολή). Въведени са от Аполоний във връзка с дефинираната от него процедура „прилагане“ за построяване на правоъгълник с дадена основа, равнолицев с друг даден правоъгълник.[1]
В случаите когато равнината минава през върха на коничната повърхнина, се наблюдават различни изродени случаи на конични сечения:
права линия – когато равнината допира коничната равнина и сечението на двете представлява образувателна на конуса.
двойка пресечни прави – когато равнината сече конуса под по-малък ъгъл, от този между образувателната и оста на ротация.
точка – когато равнината сече конуса под по-голям ъгъл.
Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.[2] Нека F е фиксирана точка в равнината, а d – права, неминаваща през F. Нека М е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където ) и по-специално тяхното отношение: , наречено ексцентрицитет.
Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е постоянно число, се нарича конично сечение, точка F – фокус, а правата d – директриса.
Нека е въведена декартова координатна система, такава че съвпада с правата d, оста минава през F. В така подбраната координатна система правата d има уравнение , а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство следва, че , което след преобразуване приема вида:
, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни .
Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред се нулира или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.
При , уравнението приема вида , което след полагането а оттам след обратно преобразуване се получава и каноничното уравнение на параболата: Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.[3]
Нека . С полагането на се прави транслация на координатната система, където е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че , оттук и . Оттук насетне има два случая, в зависимост от е.
При и като разделим на , при полагане на получаваме, че , което се нарича канонично уравнение на елипсата. Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).[3]
При и като разделим на , при полагане на получаваме, че , което се нарича канонично уравнение на хиперболата. Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). [3]
И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:
при коничното сечение е елипса, има два фокуса и две директриси,
при коничното сечение е парабола, има един фокус и една директриса,
при коничното сечение е хипербола, има два фокуса и две директриси.
Всяко конично сечение е симетрично спрямо права, минаваща през фокуса и перпендикулярна на директрисата.
Коничните сечения са били изследвани от много математици на древността.
Учителят на Александър Македонски, Аристотел, открива около 340 г. пр.н.е., че трите криви са сечения на равнина с конус. По времето на Аристотел и Ератостен известният начин за построяване на елипсата, параболата и хиперболата бил като към три различни конуса, наричани съответно „остроъгълен“, „правоъгълен“ и „тъпоъгълен“, се пуска секуща равнина, перпендикулярна на техните образувателни.
Около 225 г. Аполоний Пергски построява трите криви, като фиксира конуса, а пуска секущата равнина под различни към него ъгли.[4]
През 17 век коничните сечения биват описани в декартови координати от Джон Уолис и Ян де Вит, който дава и определенията на термините директриса и фокус на конично сечение.[5]
Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като го разширите.
Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от Прокъл и Исидор Милетски през 5 – 4 век пр.н.е.[4] Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата.
Друг метод за изчертаване на елипси е наречен по името на Архимед. При него се взима отсечка АС, върху която се отбелязва точка В. Когато точките А и В се движат съответно по две пресичащи се прави оси, „пишещият“ елемент в точка С изчертава елипса.
Приложение коничните сечения имат в астрономията: те участват в математическия апарат, с който Кеплер и Исак Нютон описват движението на планетите. Кеплер формулира закона, че планетите се движат по елипсовидна орбита, в единия фокус на която се намира Слънцето. По-общо, всички небесни тела, които се намират под въздействието на слънчевата гравитация и върху които не оказват влияние други сили, се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните комети се движат по парабола и хипербола, а периодичните – по силно издължени елипси.[6]
