Петоъгълник

Петоъгълникът (също и пентагон, от старогръцки: πεντα + γωνία – „пет“ + „ъгъл“) е многоъгълник с пет страни и ъгли.^[1] Сборът на всички вътрешни ъгли е 540° (3π). Петоъгълникът е единственият многоъгълник с равен брой страни и диагонали – по 5.

Правилен петоъгълник

Правилен петоъгълник

При правилния петоъгълник всички страни и ъгли са равни. Вътрешният ъгъл е 108°, а външният и централният – 72°. Диагоналите на правилния петоъгълник образуват петолъчна звезда, наречена пентаграм.

Дължина на диагонала

Дължината на диагоналът на правилен петоъгълник със страна а

${\displaystyle D={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~a\approx 1.618~a}$

Или съотношението на дължините на диагонал D и страна a е златното сечение.

Радиус на описаната окръжност

Дължината на радиусът на описаната окръжност R на правилен петоъгълник със страна a

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a\approx 0.8507~a}$

Лице

Лицето S на правилен петоъгълник може да бъде намерено по три начина:

• По страната a:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}={\frac {5a^{2}}{4}}\tan(54^{\circ })\approx 1,72048\,a^{2}}$

• По радиуса R на описаната окръжност:

${\displaystyle S={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}={\frac {5R^{2}}{2}}\sin(72^{\circ })\approx 2,37764\,R^{2}}$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

${\displaystyle S=5r^{2}\cdot \tan(36^{\circ })\approx 3,6327\,r^{2}}$

Построение

Тъй като 5 е просто число на Ферма, правилен петоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:^[2]

Използване

Петоъгълни пана

15 познати петоъгълни пана

 Основна статия: Петоъгълно пано

Възможностите за покритие на равнината с изпъкнали петоъгълници се изучават системно от началото на 20в., като в 2017 г. с помощта на компютър е доказано твърдението, че са възможни само 15 варианта.^[3]

кайрско петоъгълно пано

цветовидно петоъгълно пано

призматично петоъгълно пано

Непериодични моноедрични покрития

С петоъгълници могат да бъдат постигани пълни покрития с център на симетрия за всеки порядък над 2. ^[4]

5-кратна ротационна симетрия

6-кратна ротационна симетрия (на Хиршхорн)

7-кратна ротационна симетрия

Шестоъгълно-петоъгълни покрития на равнината

Разложения на шестоъгълник в петоъгълници

Лесно се установява, че шестоъгълник може да бъде разложен, и то по няколко начина, на комбинация от неправилни петоъгълници. Доколкото шестоъгълниците запълват равнината, това остава в сила и при разлагането им.

Покритие с един тип „половинка“.

Покритие с един тип „третинка“.

Покритие с един тип „четвъртинка“.

Покритие със смесена комбинация (3+9).

Вижте също

• Пентаграм

Източници

1. Речник на българския език, том 12, стр. 325, БАН, 2004
2. Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com
3. Rao, Michaël (2017), "Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane" (PDF), Manuscript: 16, Bibcode:2017arXiv170800274R (неофициална публикация
4. Klaassen, Bernhard. Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons // Elemente der Mathematik 71 (4). 2016. DOI:10.4171/em/310. с. 137 – 144.