Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като: отношение на две страни на правоъгълен триъгълник; координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център – началото на координатната система). В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като решения на някои диференциални уравнения; безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност. Графики на тригонометричните функции: синус косинус тангенс котангенс секанс косеканс Фиг. 1. Правоъгълен триъгълник Разглежда се правоъгълен триъгълник A C B {\displaystyle ACB} в евклидовата равнина (фиг. 1), поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на 180° (π радиана). Следователно 0 < α , β < 90 {\displaystyle 0<\alpha ,\beta <90} ° или 0 < α , β < π 2 {\displaystyle 0<\alpha ,\beta <{\frac {\pi }{2}}} . Дефиниции Синус на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата: sin α = a c {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}} . Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл α {\displaystyle \alpha } , тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл α {\displaystyle \alpha } са подобни. Косинус на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на прилежащия катет към хипотенузата: cos α = b c {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}} . Тангенс на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на срещулежащия катет към прилежащия: tg α = a b {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {a}{b}}} . Котангенс на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на прилежащия катет към срещулежащия: cotg α = b a {\displaystyle \operatorname {cotg} \,\alpha ={\frac {b}{a}}} . Секанс на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на хипотенузата към прилежащия катет: sec α = c b {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {c}{b}}} . Косеканс на ъгъл α {\displaystyle \alpha } е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет: cosec α = c a {\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha ={\frac {c}{a}}} . Определянето на тригонометричните функции чрез единична окръжност е частен случай на дефинициите чрез правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на единица. Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и оси OE и OF. Разглежда се окръжност с център точка О и радиус, равен на единица. Построява се произволен радиус ОА, който сключва ъгъл θ {\displaystyle \theta } с абсцисната ос OE (фиг. 2). Фиг. 2. Тригонометрични функции на ъгъл θ в единична окръжност От правоъгълния триъгълник OCA sin θ = C A O A = C A 1 = C A {\displaystyle \sin \theta ={\frac {CA}{OA}}={\frac {CA}{1}}=CA} , тъй като дължината на радиуса ОА е равна на 1. От тук следва определението: Синус на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата АC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност: sin θ = C A {\displaystyle \sin \theta ={CA}} . Изчертаване на функциите синус и косинус от единичната окръжност. По същия начин се получават определенията и за другите тригонометрични функции: Косинус на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност: cos θ = O C {\displaystyle \cos \theta ={OC}} . Тангенс на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича отношението на ординатата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната абсциса: tg θ = C A O C {\displaystyle \operatorname {tg} \,\theta ={\frac {CA}{OC}}\quad } , tg θ = sin θ cos θ {\displaystyle \quad \operatorname {tg} \,\theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} . Котангенс на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, е отношението на абсцисата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната ордината: cotg θ = O C C A {\displaystyle \operatorname {cotg} \,\theta ={\frac {OC}{CA}}\quad } , cotg θ = cos θ sin θ {\displaystyle \quad \operatorname {cotg} \,\theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}} . Дефинициите на функциите „секанс“ и „косеканс“ се формулират малко по-сложно. Секанс на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OE на пресечната точка E на абсцисната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността: sec θ = O E {\displaystyle \sec \theta =OE\quad } , sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}} . Косеканс на даден ъгъл θ {\displaystyle \theta } , отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата OF на пресечната точка F на ординатната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността: cosec θ = O F {\displaystyle \operatorname {cosec} \,\theta =OF\quad } , cosec θ = 1 sin θ {\displaystyle \quad \operatorname {cosec} \,\theta ={\frac {1}{\sin \theta }}} . В допълнение към шестте изброени съотношения, има допълнителни тригонометрични функции, които са били исторически важни, макар и рядко използвани днес (фиг. 3): Фиг. 3. Единична окръжност с основни и допълнителни тригонометрични функции на ъгъл θ. хорда – crd(θ) = 2 sin(θ2) ; версинус, версин или синус версус – versin, vers или sin vers: versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin2(θ2) (появява се в най-ранните таблици); [1] веркосинус или косинус версус – vercos или cos vers: vercos(θ) = 1 − sin(θ) = versin(π2 − θ) ; хаверсинус – haversin или hav: haversin(θ) = 12versin(θ) = sin2(θ2) ; [2] хаверкосинус – havercos или hac: havercos(θ) = 12vercos(θ) = cos2(θ2); екссеканс – exsec(θ) = sec(θ) − 1; екскосеканс – excsc(θ) = exsec(π2 − θ) = csc(θ) − 1. Графики на функциите versin, vercos, haversin, havercos, exsec, excsc Свойства на функцията синус Синус Дефиниционна област (допустими стойности на аргумента, за които функцията е определена) – множеството на всички реални числа: D ( y ) = R {\displaystyle D(y)=\mathbb {R} } . Множество на стойностите на функцията – областта[−1; 1]: E ( y ) = {\displaystyle E(y)=} [−1;1]. Функцията y = sin ( x ) {\displaystyle y=\sin \left(x\right)} е нечетна: sin ( − x ) = − sin x {\displaystyle \sin \left(-x\right)=-\sin x\,} . Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на 2 π {\displaystyle 2\pi } : sin ( x + 2 π ) = sin ( x ) {\displaystyle \sin \left(x+2\pi \right)=\sin \left(x\right)} . Графиката на функцията пресича оста Ох при x = n π , n ∈ Z {\displaystyle x=n\pi \,,\,n\in Z\,} . Области с постоянен знак: y > 0 {\displaystyle y>0} при x ∈ ( 0 + 2 π n ; π + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(0+2\pi n\,;\,\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z} и y < 0 {\displaystyle y<0} при x ∈ ( π + 2 π n ; 2 π + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(\pi +2\pi n\,;\,2\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z} . Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: ( sin x ) ′ = cos x {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,} Функцията y = sin x {\displaystyle y=\sin x} е растяща при x ∈ ( − π 2 + 2 π n ; π 2 + 2 π n ) n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,n\in Z} , и намаляваща при x ∈ ( π 2 + 2 π n ; 3 π 2 + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,;\,3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,\,n\in Z} . Функцията има минимум при x = − π 2 + 2 π n , n ∈ Z {\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,\,n\in Z} и максимум при x = π 2 + 2 π n , n ∈ Z {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,\,n\in Z} . Свойства на функцията косинус Косинус Дефиниционна област (област на определяне) – множеството на всички реални числа: D ( y ) = R {\displaystyle D(y)=\mathbb {R} } . Множество на стойностите – областта [−1; 1]: E ( y ) {\displaystyle E(y)} = [−1;1]. Функцията y = cos ( x ) {\displaystyle y=\cos \left(x\right)} е четна: cos ( − x ) = cos x {\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos x\,} . Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на 2 π {\displaystyle 2\pi } : cos ( x + 2 π ) = cos ( x ) {\displaystyle \cos \left(x+2\pi \right)=\cos \left(x\right)} . Графиката на функцията пресича оста Ох при x = π 2 + n π , n ∈ Z {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+n\pi \,,\,n\in Z\,} . Области с постоянен знак: y > 0 {\displaystyle y>0} при ( − π 2 + 2 π n ; π 2 + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\,\in Z} и y < 0 {\displaystyle y<0} при ( π 2 + 2 π n ; 3 π 2 + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\,\in Z\,} . Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: ( cos x ) ′ = − sin x {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x} Функцията y = cos x {\displaystyle y=\cos x} е растяща при x ∈ ( − π + 2 π n ; 2 π n ) , n ∈ Z , {\displaystyle x\in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,,\,n\in Z,} и е намаляваща при x ∈ ( 2 π n ; π + 2 π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,,\,n\in Z\,} . Функцията има минимум при x = π + 2 π n n ∈ Z {\displaystyle x=\pi +2\pi n\,n\in Z} и максимум при x = 2 n π , n ∈ Z {\displaystyle x=2n\pi \,,\,n\in Z\,} . Свойства на функцията тангенс Тангенс Област на определяне на функцията – множеството от всички реални числа: D ( y ) = R {\displaystyle D(y)=\mathbb {R} } , освен числата x = π 2 + n π {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+n\pi } . Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: E ( y ) = R {\displaystyle E(y)=\mathbb {R} } . Функцията y = t g ( x ) {\displaystyle y=\mathrm {tg} \left(x\right)} е нечетна: t g ( − x ) = − t g x {\displaystyle \mathrm {tg} \left(-x\right)=-\mathrm {tg} \ x\,} . Функцията е периодична. Най-малкият положителен период е равен на π {\displaystyle \pi } : t g ( x + π ) = t g ( x ) {\displaystyle \mathrm {tg} \left(x+\pi \right)=\mathrm {tg} \left(x\right)} . Графиката на функцията пресича оста Ох при x = n π , n ∈ Z {\displaystyle x=n\pi \,,\,n\in Z\,} . Области с постоянен знак: y > 0 {\displaystyle y>0} при x ∈ ( n π ; n π + π 2 ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(n\pi \,;\,n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,,\,n\in Z} и y < 0 {\displaystyle y<0} при x ∈ ( − π 2 + π n ; π n ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n\right)\,,\,n\in Z} . Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: ( tg x ) ′ = 1 cos 2 x {\displaystyle (\mathop {\operatorname {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}} Функция y = t g x {\displaystyle y=\mathrm {tg} \ x} расте при x ∈ ( − π 2 + π n ; π 2 + n π ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n\,;\,{\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)\,,\,n\in Z} . Свойства на функцията котангенс Котангенс Област на определяне на функцията – множеството на всички реални числа: D ( y ) = R , {\displaystyle D(y)=\mathbb {R} ,} освен числата x = n π . {\displaystyle x=n\pi .} Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: E ( y ) = R {\displaystyle E(y)=\mathbb {R} \,} . Функцията y = ctg ( x ) {\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(x\right)} е нечетна: ctg ( − x ) = − ctg x {\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(-x\right)=-\mathop {\operatorname {ctg} } \ x\,} . Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на π {\displaystyle \pi } : ctg ( x + π ) = ctg ( x ) {\displaystyle \mathop {\operatorname {ctg} } \left(x+\pi \right)=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(x\right)\,} . Графиката на функцията пресича оста Ох при x = π 2 + π n , n ∈ Z {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,\,n\in Z\,} . Области с постоянен знак: y > 0 {\displaystyle y>0} при x ∈ ( n π ; n π + π 2 ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(n\pi \,;\,n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,,\,n\in Z\,} и y < 0 {\displaystyle y<0} при x ∈ ( n π + π 2 ; ( n + 1 ) π ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(n\pi +{\frac {\pi }{2}}\,;\,\left(n+1\right)\pi \right)\,,\,n\in Z\,} . Функцията е непрекъсната и има производни при всяка стойност на аргумента: ( ctg x ) ′ = − 1 sin 2 x . {\displaystyle (\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.} Функцията y = ctg x {\displaystyle y=\mathop {\operatorname {ctg} } \ x} намалява при x ∈ ( n π ; ( n + 1 ) π ) , n ∈ Z {\displaystyle x\in \left(n\pi ;\left(n+1\right)\pi \right)\,,\,n\in Z\,} . Обобщени свойства Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс – нечетни, т.е. sin ( − x ) = − sin x {\displaystyle \sin \left(-x\right)=-\sin x\,} , t g ( − x ) = − t g x {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {tg} } x\,} , cos ( − x ) = cos x {\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos x\,} , c t g ( − x ) = − c t g x {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \left(-x\right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,x} . За остри ъгли α < π 2 {\displaystyle \alpha <{\frac {\pi }{2}}\,\!} sin ( π 2 − α ) = cos α {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha \,} , t g ( π 2 − α ) = c t g α {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha } , sin ( π 2 + α ) = cos α {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha \,} , t g ( π 2 + α ) = − c t g α {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {tg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha } , cos ( π 2 − α ) = sin α {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha } , c t g ( π 2 − α ) = t g α {\displaystyle \quad \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha } , cos ( π 2 + α ) = − sin α {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha } , c t g ( π 2 + α ) = − t g α {\displaystyle \quad \quad \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha } . За ъгли 0 < α < π {\displaystyle 0<\alpha <\pi \,\!} е изпълнено sin ( π − α ) = sin α {\displaystyle \sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha \,} , cos ( π − α ) = − cos α {\displaystyle \quad \quad \quad \cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha } , sin ( π + α ) = − sin α {\displaystyle \sin \left(\pi +\alpha \right)=-\sin \alpha \,} , cos ( π + α ) = − cos α {\displaystyle \quad \quad \cos \left(\pi +\alpha \right)=-\cos \alpha \,} , t g ( π − α ) = − t g α , α ≠ π 2 , 3 π 2 {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(\pi -\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha ,\qquad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}},\,3{\frac {\pi }{2}}\,} , t g ( π + α ) = t g α , α ≠ π 2 , 3 π 2 {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(\pi +\alpha \right)=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha ,\qquad \quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}},\,3{\frac {\pi }{2}}\,} , c t g ( π − α ) = − c t g α {\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(\pi -\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,} , c t g ( π + α ) = c t g α {\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(\pi +\alpha \right)=\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,} . Знакът на функциите sin, cos, sec и cosес се променя през интервали от 180°, а на tg и cotg – през 90°. sin ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\sin(x)\geq \ 0} за 0 ∘ ≤ x ≤ 180 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }\leq x\leq 180^{\circ }} или 0 ≤ x ≤ π {\displaystyle \,0\leq x\leq \pi } sin ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\sin(x)\leq \ 0} für 180 ∘ ≤ x ≤ 360 ∘ {\displaystyle \,180^{\circ }\leq x\leq 360^{\circ }} или π ≤ x ≤ 2 π {\displaystyle \,\pi \leq x\leq 2\pi } cos ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\cos(x)\geq \ 0} за 0 ∘ ≤ x ≤ 90 ∘ , 270 ∘ ≤ x ≤ 360 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }\leq x\leq 90^{\circ },270^{\circ }\leq x\leq 360^{\circ }} oder 0 ≤ x ≤ π 2 , 3 π 2 ≤ x ≤ 2 π {\displaystyle \,0\leq x\leq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}\leq x\leq 2\pi } cos ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\cos(x)\leq \ 0} за 90 ∘ ≤ x ≤ 270 ∘ {\displaystyle \,90^{\circ }\leq x\leq 270^{\circ }} или π 2 ≤ x ≤ 3 π 2 {\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}\leq x\leq {\tfrac {3\pi }{2}}} tan ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\tan(x)\geq \ 0} за 0 ∘ ≤ x < 90 ∘ , 180 ∘ ≤ x < 270 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }\leq x<90^{\circ },180^{\circ }\leq x<270^{\circ }} или 0 ≤ x < π 2 , π ≤ x < 3 π 2 {\displaystyle \,0\leq x<{\tfrac {\pi }{2}},\pi \leq x<{\tfrac {3\pi }{2}}} tan ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\tan(x)\leq \ 0} за 90 ∘ < x ≤ 180 ∘ , 270 ∘ < x ≤ 360 ∘ {\displaystyle \,90^{\circ }<x\leq 180^{\circ },270^{\circ }<x\leq 360^{\circ }} или π 2 < x ≤ π , 3 π 2 < x ≤ 2 π {\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}<x\leq \pi ,{\tfrac {3\pi }{2}}<x\leq 2\pi } cot ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\cot(x)\geq \ 0} за 0 ∘ < x ≤ 90 ∘ , 180 ∘ < x ≤ 270 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }<x\leq 90^{\circ },180^{\circ }<x\leq 270^{\circ }} или 0 < x ≤ π 2 , π < x ≤ 3 π 2 {\displaystyle \,0<x\leq {\tfrac {\pi }{2}},\pi <x\leq {\tfrac {3\pi }{2}}} cot ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\cot(x)\leq \ 0} за 90 ∘ ≤ x < 180 ∘ , 270 ∘ ≤ x < 360 ∘ {\displaystyle \,90^{\circ }\leq x<180^{\circ },270^{\circ }\leq x<360^{\circ }} или π 2 ≤ x < π , 3 π 2 ≤ x < 2 π {\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}\leq x<\pi ,{\tfrac {3\pi }{2}}\leq x<2\pi } sec ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\sec(x)\geq \ 0} за 0 ∘ < x < 90 ∘ , 270 ∘ < x < 360 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }<x<90^{\circ },270^{\circ }<x<360^{\circ }} или 0 < x < π 2 , 3 π 2 < x < 2 π {\displaystyle \,0<x<{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}<x<2\pi } sec ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\sec(x)\leq \ 0} за 90 ∘ < x < 270 ∘ {\displaystyle \,90^{\circ }<x<270^{\circ }} или π 2 < x < 3 π 2 {\displaystyle \,{\tfrac {\pi }{2}}<x<{\tfrac {3\pi }{2}}} csc ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,\csc(x)\geq \ 0} за 0 ∘ < x < 180 ∘ {\displaystyle \,0^{\circ }<x<180^{\circ }} или 0 < x < π {\displaystyle \,0<x<\pi } csc ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \,\csc(x)\leq \ 0} за 180 ∘ < x < 360 ∘ {\displaystyle \,180^{\circ }<x<360^{\circ }} или π < x < 2 π {\displaystyle \,\pi <x<2\pi } Таблицата показва знаците на тригонометричните функции в зависимост от квадранта: More information Квадрант, sin и csc ... Квадрант sin и csc cos и sec tan и cot I +++ II +−− III −−+ IV −+− Close В следващата таблицата са дадени най-основните свойства на тригонометричните функции. More information , ... Функция Озна-чения Изразяване чрез основна връзка Дефиниционна област Област на стойностите Синус sin {\displaystyle \operatorname {sin} } sin α = cos ( π 2 − α ) {\displaystyle \sin \alpha =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,} ∀ α {\displaystyle \forall \alpha } [–1; 1] Косинус cos {\displaystyle \operatorname {cos} } cos α = sin ( π 2 − α ) {\displaystyle \cos \alpha =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,} ∀ α {\displaystyle \forall \alpha } [–1; 1] Тангенс tg {\displaystyle \operatorname {tg} } или tan {\displaystyle \operatorname {tan} } tg α = sin α cos α = ctg ( π 2 − α ) {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,} ∀ α {\displaystyle \forall \alpha } без α = k π {\displaystyle \alpha =k\pi } , k ∈ {\displaystyle k\in } Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ;+\infty )} Котангенс cotg {\displaystyle \operatorname {cotg} } , ctg {\displaystyle \operatorname {ctg} } или cot {\displaystyle \operatorname {cot} } ctg α = cos α sin α = tg ( π 2 − α ) {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)\,} ∀ α {\displaystyle \forall \alpha } без α = π 2 + k π {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}+k\pi } , k ∈ {\displaystyle k\in } Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ;+\infty )} Close Основна статия: Тригонометрични тъждества Тъждества се наричат равенства, изпълнени за всички допустими стойности на променливите в тях. Стандартните тъждества на връзките между функциите са sin 2 x + cos 2 x = 1 . {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\ .} sec 2 x − tg 2 x = 1 . {\displaystyle \sec ^{2}x-{\mathop {\operatorname {tg} } }^{2}x=1\ .} csc 2 x − ctg x x = 1 . {\displaystyle \csc ^{2}x-{\mathop {\operatorname {ctg} } }^{x}x=1\ .} От правоъгълния триъгълник ABC (фиг. 1) съгласно теоремата на Питагор ( A C ) 2 + ( B C ) 2 = ( A B ) 2 {\displaystyle \left(AC\right)^{2}+\left(BC\right)^{2}=\left(AB\right)^{2}} , и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то sin 2 α + cos 2 α = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1} . В следващата таблица са дадени всички връзки между тригонометричните функции. Всяка от функциите е изразена чрез всяка от другите пет. More information , ... sin cos tan cot sec csc sin(x) sin ( x ) {\displaystyle \,\sin(x)} ± 1 − cos 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}} ± tan ( x ) 1 + tan 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\tan(x)}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}} ± 1 cot 2 ( x ) + 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}} ± sec 2 ( x ) − 1 sec ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}{\sec(x)}}} 1 csc ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{\csc(x)}}} cos(x) ± 1 − sin 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}} cos ( x ) {\displaystyle \,\cos(x)} ± 1 1 + tan 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}} ± cot ( x ) cot 2 ( x ) + 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {\cot(x)}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}} 1 sec ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\sec(x)}}} ± csc 2 ( x ) − 1 csc ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}{\csc(x)}}} tan(x) ± sin ( x ) 1 − sin 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sin(x)}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}} ± 1 − cos 2 ( x ) cos ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}{\cos(x)}}} tan ( x ) {\displaystyle \,\tan(x)} 1 cot ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\cot(x)}}} ± sec 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}} ± 1 csc 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}} cot(x) ± 1 − sin 2 ( x ) sin ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}{\sin(x)}}} ± cos ( x ) 1 − cos 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\cos(x)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}} 1 tan ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\tan(x)}}} cot ( x ) {\displaystyle \,\cot(x)} ± 1 sec 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}} ± csc 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}} sec(x) ± 1 1 − sin 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}} 1 cos ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\cos(x)}}} ± 1 + tan 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}} ± cot 2 ( x ) + 1 cot ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}{\cot(x)}}} sec ( x ) {\displaystyle \,\sec(x)} ± csc ( x ) csc 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {\csc(x)}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}} csc(x) 1 sin ( x ) {\displaystyle \,{\frac {1}{\sin(x)}}} ± 1 1 − cos 2 ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}} ± 1 + tan 2 ( x ) tan ( x ) {\displaystyle \,\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}{\tan(x)}}} ± cot 2 ( x ) + 1 {\displaystyle \,\pm {\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}} ± sec ( x ) sec 2 ( x ) − 1 {\displaystyle \,\pm {\frac {\sec(x)}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}} csc ( x ) {\displaystyle \,\csc(x)} Close При използване на формулите трябва да се имат предвид, че знакът ± {\displaystyle \,\pm \,} определя две стойности. Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър се представят синусът и косинусът като степенни редове: sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + x 9 9 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} , cos x = 1 − x 2 2 + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}} . Ползвайки тези формули, а също и равенствата tg x = sin x cos x , {\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},} ctg x = cos x sin x , {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},} sec x = 1 cos x {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}} и cosec x = 1 sin x , {\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},} може да се разложат в ред и другите тригонометрични функции: tg x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + 62 x 9 2835 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ; ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle \operatorname {tg} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1};\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),} ctg x = 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − x 7 4725 − ⋯ = 1 x − ∑ n = 1 ∞ 2 2 n | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ; ( − π < x < π ) , {\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1};\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}} sec x = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + 277 x 8 8064 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n ; ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n};\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),} cosec x = 1 x + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + 127 604800 x 7 + ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ; ( − π < x < π ) , {\displaystyle \operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1};\quad \left(-\pi <x<\pi \right),} където B n {\displaystyle B_{n}} са числа на Бернули, E n {\displaystyle E_{n}} са числа на Ойлер. Във векторната геометрия косинусът се определя от скаларното произведение на два вектора u и v и техните норми ||u|| и ||v||: cos ( u , v ) = ⟨ u , v ⟩ ‖ u ‖ × ‖ v ‖ {\displaystyle \cos(u,v)={\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\times \|v\|}}} . Тригонометричните функции са включени в едни от най-рано използваните математически таблици. Тези таблици са част от справочниците по математика и студентите по различни инженерни дисциплини в миналото са обучавани да ги използват при изчислителните задачи и проекти. Днес тригонометричните функции (sin, cos, tan, cot, sec, csc) се пресмятат с калкулатори от по-високо ниво. Повечето позволяват избора на измервателната единица за ъгъл: DEG, RAD, GRAD. При съвременните компютри съществуват голям брой програми, които осигуряват изключително точни и пълни изчисления. Стойности на косинус и синус ( cos α , sin α ) {\displaystyle (\cos \alpha \,,\,\sin \alpha )} на окръжността Основна статия: Тригонометрични константи Стойностите на синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс за някои ъгли са дадени в таблиците. („ ∞ {\displaystyle \infty } “ означава, че функцията в указаната точка не е дефинирана, но клони към безкрайност в нейната близост). Основни стойности More information , ... Радиани 0 {\displaystyle 0} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} π {\displaystyle \pi } 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}} 2 π {\displaystyle 2\pi } Градуси 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 270 ∘ {\displaystyle 270^{\circ }} 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} sin α {\displaystyle \sin \alpha } 0 {\displaystyle 0} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} cos α {\displaystyle \cos \alpha } 1 {\displaystyle 1} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 0 {\displaystyle 0} − 1 {\displaystyle -1} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } 0 {\displaystyle 0} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} ∞ {\displaystyle \infty } 0 {\displaystyle 0} ∞ {\displaystyle \infty } 0 {\displaystyle 0} ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } ∞ {\displaystyle \infty } 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 0 {\displaystyle 0} ∞ {\displaystyle \infty } 0 {\displaystyle 0} ∞ {\displaystyle \infty } sec α {\displaystyle \sec \alpha } 1 {\displaystyle 1} 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 {\displaystyle 2} ∞ {\displaystyle \infty } − 1 {\displaystyle -1} ∞ {\displaystyle \infty } 1 {\displaystyle 1} cosec α {\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha } ∞ {\displaystyle \infty } 2 {\displaystyle 2} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} 1 {\displaystyle 1} ∞ {\displaystyle \infty } − 1 {\displaystyle -1} ∞ {\displaystyle \infty } Close Стойности на тригонометрични функции за нестандартни ъгли More information , ... Радиани 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}} 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}} 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}} 7 π 6 {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}} 5 π 4 {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}} 4 π 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}} 5 π 3 {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}} 7 π 4 {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}} 11 π 6 {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}} Градуси 120 ∘ {\displaystyle 120^{\circ }} 135 ∘ {\displaystyle 135^{\circ }} 150 ∘ {\displaystyle 150^{\circ }} 210 ∘ {\displaystyle 210^{\circ }} 225 ∘ {\displaystyle 225^{\circ }} 240 ∘ {\displaystyle 240^{\circ }} 300 ∘ {\displaystyle 300^{\circ }} 315 ∘ {\displaystyle 315^{\circ }} 330 ∘ {\displaystyle 330^{\circ }} sin α {\displaystyle \sin \alpha } 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}} − 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}} − 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}} − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}} − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} cos α {\displaystyle \cos \alpha } − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}} − 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}} − 3 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}} − 2 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}} − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 1 {\displaystyle 1} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} − 3 3 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}} − 1 {\displaystyle -1} − 3 {\displaystyle -{\sqrt {3}}} sec α {\displaystyle \sec \alpha } − 2 {\displaystyle -2} − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} − 2 3 3 {\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} − 2 3 3 {\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} − 2 {\displaystyle -2} 2 {\displaystyle 2} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} cosec α {\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha } 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 {\displaystyle 2} − 2 {\displaystyle -2} − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} − 2 3 3 {\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} − 2 3 3 {\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} − 2 {\displaystyle -2} Close More information , ... Радиани π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} π 10 {\displaystyle {\frac {\pi }{10}}} π 8 {\displaystyle {\frac {\pi }{8}}} π 5 {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}} 3 π 10 {\displaystyle {\frac {3\pi }{10}}} 3 π 8 {\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}} 2 π 5 {\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}} 5 π 12 {\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}} Градуси 15 ∘ {\displaystyle 15^{\circ }} 18 ∘ {\displaystyle 18^{\circ }} 22 , 5 ∘ {\displaystyle 22{,}5^{\circ }} 36 ∘ {\displaystyle 36^{\circ }} 54 ∘ {\displaystyle 54^{\circ }} 67 , 5 ∘ {\displaystyle 67{,}5^{\circ }} 72 ∘ {\displaystyle 72^{\circ }} 75 ∘ {\displaystyle 75^{\circ }} sin α {\displaystyle \sin \alpha } 2 − 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}} 5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} 2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} 10 − 2 5 4 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}} 5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} 10 + 2 5 4 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}} 2 + 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}} cos α {\displaystyle \cos \alpha } 2 + 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}} 10 + 2 5 4 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}} 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} 5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} 10 − 2 5 4 {\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}} 2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} 5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} 2 − 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}} tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} 25 − 10 5 5 {\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}} 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}-1} 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} 25 + 10 5 5 {\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}} 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}+1} 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}+1} 25 + 10 5 5 {\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}} 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}-1} 25 − 10 5 5 {\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}} 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} sec α {\displaystyle \sec \alpha } 2 2 − 3 {\displaystyle 2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}} 50 − 10 5 5 {\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}} 4 − 2 2 {\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}} 5 − 1 {\displaystyle {\sqrt {5}}-1} 50 + 10 5 5 {\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}} 4 + 2 2 {\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}} 5 + 1 {\displaystyle {\sqrt {5}}+1} 2 2 + 3 {\displaystyle 2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}} cosec α {\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha } 2 2 + 3 {\displaystyle 2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}} 5 + 1 {\displaystyle {\sqrt {5}}+1} 4 + 2 2 {\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}} 50 + 10 5 5 {\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}} 5 − 1 {\displaystyle {\sqrt {5}}-1} 4 − 2 2 {\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}} 50 − 10 5 5 {\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}} 2 2 − 3 {\displaystyle 2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}} Close Стойности на тригонометрични функции за някои други ъгли sin π 60 = cos 29 π 60 = sin 3 ∘ = cos 87 ∘ = 2 ( 3 + 1 ) ( 5 − 1 ) − 2 ( 3 − 1 ) 5 + 5 16 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\cos {\frac {29\,\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }=\cos 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},} cos π 60 = sin 29 π 60 = cos 3 ∘ = sin 87 ∘ = 2 ( 3 − 1 ) ( 5 − 1 ) + 2 ( 3 + 1 ) 5 + 5 16 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\sin {\frac {29\,\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }=\sin 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},} tg π 60 = ctg 29 π 60 = tg 3 ∘ = ctg 87 ∘ = 2 ( 5 + 2 ) − 3 ( 5 + 3 ) + ( 2 − 3 ) ( 3 ( 5 + 1 ) − 2 ) 5 − 2 5 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 3^{\circ }=\operatorname {ctg} 87^{\circ }={\frac {2({\sqrt {5}}+2)-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},} ctg π 60 = tg 29 π 60 = ctg 3 ∘ = tg 87 ∘ = 2 ( 2 ( 5 + 2 ) + 3 ( 5 + 3 ) ) + ( 3 ( 5 − 1 ) + 2 ) 2 ( 25 + 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 3^{\circ }=\operatorname {tg} 87^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},} sin π 30 = cos 7 π 15 = sin 6 ∘ = cos 84 ∘ = 6 ( 5 − 5 ) − 5 − 1 8 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\cos {\frac {7\,\pi }{15}}=\sin 6^{\circ }=\cos 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1}{8}},} cos π 30 = sin 7 π 15 = cos 6 ∘ = sin 84 ∘ = 2 ( 5 − 5 ) + 3 ( 5 + 1 ) 8 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\sin {\frac {7\,\pi }{15}}=\cos 6^{\circ }=\sin 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}},} tg π 30 = ctg 7 π 15 = tg 6 ∘ = ctg 84 ∘ = 2 ( 5 − 5 ) − 3 ( 5 − 1 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }=\operatorname {ctg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}},} ctg π 30 = tg 7 π 15 = ctg 6 ∘ = tg 84 ∘ = 2 ( 25 + 11 5 ) + 3 ( 5 + 3 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }=\operatorname {tg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)}{2}},} sin π 20 = cos 9 π 20 = sin 9 ∘ = cos 81 ∘ = 2 ( 5 + 1 ) − 2 5 − 5 8 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\cos {\frac {9\,\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }=\cos 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},} cos π 20 = sin 9 π 20 = cos 9 ∘ = sin 81 ∘ = 2 ( 5 + 1 ) + 2 5 − 5 8 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\sin {\frac {9\,\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }=\sin 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},} tg π 20 = ctg 9 π 20 = tg 9 ∘ = ctg 81 ∘ = 5 + 1 − 5 + 2 5 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }=\operatorname {ctg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},} ctg π 20 = tg 9 π 20 = ctg 9 ∘ = tg 81 ∘ = 5 + 1 + 5 + 2 5 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }=\operatorname {tg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},} sin π 15 = cos 13 π 30 = sin 12 ∘ = cos 78 ∘ = 2 ( 5 + 5 ) − 3 ( 5 − 1 ) 8 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\cos {\frac {13\,\pi }{30}}=\sin 12^{\circ }=\cos 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}},} cos π 15 = sin 13 π 30 = cos 12 ∘ = sin 78 ∘ = 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 8 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\sin {\frac {13\,\pi }{30}}=\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1}{8}},} tg π 15 = ctg 13 π 30 = tg 12 ∘ = ctg 78 ∘ = 3 ( 3 − 5 ) − 2 ( 25 − 11 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }=\operatorname {ctg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},} ctg π 15 = tg 13 π 30 = ctg 12 ∘ = tg 78 ∘ = 3 ( 5 + 1 ) + 2 ( 5 + 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }=\operatorname {tg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},} sin 7 π 60 = cos 23 π 60 = sin 21 ∘ = cos 69 ∘ = − 2 ( 3 − 1 ) ( 5 + 1 ) + 2 ( 3 + 1 ) 5 − 5 16 , {\displaystyle \sin {\frac {7\,\pi }{60}}=\cos {\frac {23\,\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }=\cos 69^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},} cos 7 π 60 = sin 23 π 60 = cos 21 ∘ = sin 69 ∘ = 2 ( 3 + 1 ) ( 5 + 1 ) + 2 ( 3 − 1 ) 5 − 5 16 , {\displaystyle \cos {\frac {7\,\pi }{60}}=\sin {\frac {23\,\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }=\sin 69^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},} tg 7 π 60 = ctg 23 π 60 = tg 21 ∘ = ctg 69 ∘ = 2 ( 2 ( 5 − 2 ) − 3 ( 3 − 5 ) ) + ( 3 ( 5 + 1 ) − 2 ) 2 ( 25 − 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }=\operatorname {ctg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},} ctg 7 π 60 = tg 23 π 60 = ctg 21 ∘ = tg 69 ∘ = 2 ( 2 ( 5 − 2 ) + 3 ( 3 − 5 ) ) + ( 3 ( 5 + 1 ) + 2 ) 2 ( 25 − 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }=\operatorname {tg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},} sin 2 π 15 = cos 11 π 30 = sin 24 ∘ = cos 66 ∘ = 3 ( 5 + 1 ) − 2 ( 5 − 5 ) 8 , {\displaystyle \sin {\frac {2\,\pi }{15}}=\cos {\frac {11\,\pi }{30}}=\sin 24^{\circ }=\cos 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},} cos 2 π 15 = sin 11 π 30 = cos 24 ∘ = sin 66 ∘ = 5 + 1 + 6 ( 5 − 5 ) 8 , {\displaystyle \cos {\frac {2\,\pi }{15}}=\sin {\frac {11\,\pi }{30}}=\cos 24^{\circ }=\sin 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},} tg 2 π 15 = ctg 11 π 30 = tg 24 ∘ = ctg 66 ∘ = − 3 ( 3 + 5 ) + 2 ( 25 + 11 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }=\operatorname {ctg} 66^{\circ }={\frac {-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{2}},} ctg 2 π 15 = tg 11 π 30 = ctg 24 ∘ = tg 66 ∘ = 3 ( 5 − 1 ) + 2 ( 5 − 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }=\operatorname {tg} 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{2}},} sin 3 π 20 = cos 7 π 20 = sin 27 ∘ = cos 63 ∘ = − 2 ( 5 − 1 ) + 2 5 + 5 8 , {\displaystyle \sin {\frac {3\,\pi }{20}}=\cos {\frac {7\,\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }=\cos 63^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},} cos 3 π 20 = sin 7 π 20 = cos 27 ∘ = sin 63 ∘ = 2 ( 5 − 1 ) + 2 5 + 5 8 , {\displaystyle \cos {\frac {3\,\pi }{20}}=\sin {\frac {7\,\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }=\sin 63^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},} tg 3 π 20 = ctg 7 π 20 = tg 27 ∘ = ctg 63 ∘ = 5 − 1 − 5 − 2 5 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }=\operatorname {ctg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},} ctg 3 π 20 = tg 7 π 20 = ctg 27 ∘ = tg 63 ∘ = 5 − 1 + 5 − 2 5 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }=\operatorname {tg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},} sin 11 π 60 = cos 19 π 60 = sin 33 ∘ = cos 57 ∘ = 2 ( 3 + 1 ) ( 5 − 1 ) + 2 ( 3 − 1 ) 5 + 5 16 , {\displaystyle \sin {\frac {11\,\pi }{60}}=\cos {\frac {19\,\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }=\cos 57^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},} cos 11 π 60 = sin 19 π 60 = cos 33 ∘ = sin 57 ∘ = − 2 ( 3 − 1 ) ( 5 − 1 ) + 2 ( 3 + 1 ) 5 + 5 16 , {\displaystyle \cos {\frac {11\,\pi }{60}}=\sin {\frac {19\,\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }=\sin 57^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},} tg 11 π 60 = ctg 19 π 60 = tg 33 ∘ = ctg 57 ∘ = − 2 ( 5 + 2 ) + 3 ( 3 + 5 ) + ( 2 − 3 ) ( 3 ( 5 + 1 ) − 2 ) 5 − 2 5 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }=\operatorname {ctg} 57^{\circ }={\frac {-2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},} ctg 11 π 60 = tg 19 π 60 = ctg 33 ∘ = tg 57 ∘ = − 2 ( 2 ( 5 + 2 ) + 3 ( 3 + 5 ) ) + ( 3 ( 5 − 1 ) + 2 ) 2 ( 25 + 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }=\operatorname {tg} 57^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},} sin 13 π 60 = cos 17 π 60 = sin 39 ∘ = cos 51 ∘ = 2 ( 3 + 1 ) ( 5 + 1 ) − 2 ( 3 − 1 ) 5 − 5 16 , {\displaystyle \sin {\frac {13\,\pi }{60}}=\cos {\frac {17\,\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }=\cos 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},} cos 13 π 60 = sin 17 π 60 = cos 39 ∘ = sin 51 ∘ = 2 ( 3 − 1 ) ( 5 + 1 ) + 2 ( 3 + 1 ) 5 − 5 16 , {\displaystyle \cos {\frac {13\,\pi }{60}}=\sin {\frac {17\,\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }=\sin 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},} tg 13 π 60 = ctg 17 π 60 = tg 39 ∘ = ctg 51 ∘ = − 2 ( 2 ( 5 − 2 ) + 3 ( 3 − 5 ) ) + ( 3 ( 5 + 1 ) + 2 ) 2 ( 25 − 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }=\operatorname {ctg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},} ctg 13 π 60 = tg 17 π 60 = ctg 39 ∘ = tg 51 ∘ = − 2 ( 2 ( 5 − 2 ) − 3 ( 3 − 5 ) ) + ( 3 ( 5 + 1 ) − 2 ) 2 ( 25 − 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }=\operatorname {tg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},} sin 7 π 30 = cos 8 π 30 = sin 42 ∘ = cos 48 ∘ = − ( 5 − 1 ) + 6 ( 5 + 5 ) 8 , {\displaystyle \sin {\frac {7\,\pi }{30}}=\cos {\frac {8\,\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }=\cos 48^{\circ }={\frac {-({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},} cos 7 π 30 = sin 8 π 30 = cos 42 ∘ = sin 48 ∘ = 3 ( 5 − 1 ) + 2 ( 5 + 5 ) 8 , {\displaystyle \cos {\frac {7\,\pi }{30}}=\sin {\frac {8\,\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }=\sin 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},} tg 7 π 30 = ctg 8 π 30 = tg 42 ∘ = ctg 48 ∘ = 3 ( 5 + 1 ) − 2 ( 5 + 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }=\operatorname {ctg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},} ctg 7 π 30 = tg 8 π 30 = ctg 42 ∘ = tg 48 ∘ = 3 ( 3 − 5 ) + 2 ( 25 − 11 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }=\operatorname {tg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},} tg π 120 = ctg 59 π 120 = tg 1.5 ∘ = ctg 88.5 ∘ = 8 − 2 ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) − 2 ( 2 + 3 ) ( 5 + 5 ) 8 + 2 ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) + 2 ( 2 + 3 ) ( 5 + 5 ) , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{120}}=\operatorname {ctg} {\frac {59\,\pi }{120}}=\operatorname {tg} 1.5^{\circ }=\operatorname {ctg} 88.5^{\circ }={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}},} cos π 240 = sin 119 π 240 = cos 0.75 ∘ = sin 89.25 ∘ = 1 16 ( 2 − 2 + 2 ( 2 ( 5 + 5 ) + 3 ( 1 − 5 ) ) + 2 + 2 + 2 ( 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ) ) , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0.75^{\circ }=\sin 89.25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),} cos π 17 = sin 15 π 34 = 1 8 2 ( 2 3 17 − 2 ( 85 + 19 17 ) + 17 + 2 ( 17 − 17 ) + 17 + 15 ) . {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}=\sin {\frac {15\,\pi }{34}}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2\left(2{\sqrt {3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2(85+19{\sqrt {17}})}}+17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {17}}+15\right)}}.} sin π 2 n + 1 = 1 2 2 − 2 + ⋯ + 2 ⏟ n , n ∈ N {\displaystyle \sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N} } cos π 2 n + 1 = 1 2 2 + 2 + ⋯ + 2 ⏟ n , n ∈ N {\displaystyle \cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N} } sin π 3 ⋅ 2 n = 1 2 2 − 2 + ⋯ + 3 ⏟ n , n ≥ 2 {\displaystyle \sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}}}}}} _{n},n\geq 2} cos π 3 ⋅ 2 n = 1 2 2 + 2 + ⋯ + 3 ⏟ n , n ≥ 2 {\displaystyle \cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}}}}}} _{n},n\geq 2} Lars Ahlfors. Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, segona edició, McGraw-Hill Book Company, Nova York, 1966. Abramowitz, Milton; Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, Nova York. (1964). ISBN 0-486-61272-4. Boyer, Carl B. – A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., segona edició. (1991). ISBN 0-471-54397-7. Joseph, George G. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, segona edició Penguin Books, Londres. (2000). ISBN 0-691-00659-8. Kantabutra, Vitit. "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996). Maor, Eli. Trigonometric Delights Arxivat 2006-04-14 a Wayback Machine., Princeton Univ. Press. (1998). Reimpressió (25 febrer de 2002): ISBN 0-691-09541-8. Needham, Tristan. "Preface" Arxivat 2004-06-02 a Wayback Machine." a Visual Complex Analysis Arxivat 2008-06-07 a Wayback Machine.. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9. O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Trigonometric functions" Arxivat 2013-01-20 a Wayback Machine., Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (1996). O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Madhava of Sangamagramma", Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2000). Pearce, Ian G. "Madhava of Sangamagramma" Arxivat 2006-05-05 a Wayback Machine.. Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2002). Weisstein, Eric W. "Tangent" a MathWorld, accés el 21 de gener de 2006. Тригонометрия Списък с интеграли на тригонометрични функции Обратни тригонометрични функции Аркуссинус[1]Boyer 1991, с. xxiii–xxiv.[2]Nielsen 1966, с. xxiii–xxiv.Wikiwand in your browser!Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.Wikiwand for ChromeWikiwand for Firefox
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.