Тригонометрични тъждества

Тригонометричните тъждества са група равенства в тригонометрията, които свързват тригонометричните функции и които са в сила за всяка стойност на променливите, за която всички части на равенството са дефинирани.

Основното тригонометрично тъждество, пряко следствие на питагоровата теорема, свързва функциите синус и косинус:

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$

Това уравнение може да бъде решено както за синуса, така и за косинуса:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$

като променливият знак зависи от квадранта на ъгъла ${\displaystyle \theta .}$

С разделянето на основното тъждество на ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$, ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ или и на двете се получават следните тъждества:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}$

Въз основа на тригонометричните тъждества всяка от тригонометричните функции може да се изрази чрез някоя друга тригонометрична функция:^[1]

изразена чрез	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle \cot \theta }$
${\displaystyle \sin \theta =}$	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \csc \theta =}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
${\displaystyle \cos \theta =}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \sec \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \tan \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \cot \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot \theta }$

Бележки

1. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 4, eqn 4.3.45". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 73. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.