From Wikipedia, the free encyclopedia
Преобразовàние на Лаплàс ℒ в математиката е интегрално преобразование, което свързва функцията на комплексна променлива (изображение, образ) с функцията на реална променлива (оригинал). То е широкоизползван метод за анализ на линейни системи, чиито характеристики не се променят с времето (на английски: Linear Time-Invariant Systems, LTI). С негова помощ се изучават свойствата на динамичните системи и се решават диференциални и интегрални уравнения.
Методът е открит от швейцарския математик Леонард Ойлер. Наречен е на името на френския математик Пиер Симон дьо Лаплас, който го използва в своята работа върху теорията на вероятностите. Наричан е също и трансформация на Лаплас.
Преобразованието на Лаплас (ПЛ) намира приложение във физиката, оптиката, електрониката, автоматиката, математическия анализ, теорията на вероятностите и обработката на сигнали.
Правото преобразование на Лаплас на функцията на реалната променлива е функцията на комплексната променлива която е равна на интеграла на Лаплас:[1]
Обикновено оригиналът е функция, зависеща от времето, а изображението е функция на комплексната честота . Комплексната променлива (честота) се означава също чрез а функцията на изображението, получена чрез преобразование на Лаплас – с [1] Долната граница на интеграла означава , идеята на което е да се включи в интегралното преобразование делта-функцията на Дирак (наричана още „импулс“).
В литературата връзката между оригинала и изображението често се обозначава по следния начин: и и изображението обикновено се пише с главна буква.
Свойствата на тази трансформация да преобразува диференцирането и интегрирането съответно в умножение и деление, позволяват да се преобразуват интегро-диференциални уравнения в полиномни, които са много по-лесни за решаване.
Двустранното преобразование на Лаплас е обобщение на правото ПЛ, включващо отрицателните стойности на аргумента на функцията :
Двустранното ПЛ може да се означава и с , вместо с F.
Обратното преобразуване на Лаплас се дава от следния комплексен интеграл, който е известен с имената интеграл на Бромвич, интеграл на Фурие–Мелин и обратна формула на Мелин:
където е реално число, е най-голямата реална част от сингулярност на така че контурната пътека на интегриране е в областта на сходимост на . В повечето приложения контурът може да бъде затворен, което позволява използването на теоремата за остатъците. В практиката тази формула се използва по-рядко. Алтернативна формула за обратното преобразуване на Лаплас е дадена от формулата за инверсия на Пост. В инженерните науки и, много често, в математиката се прибягва до таблици с функции и техните преобразования, както и до широко използване на свойствата на преобразованието на Лаплас и прилагане на обратното ПЛ за проверка. Обратното ПЛ дава функцията при ; ако , .
Известните обратни ПЛ са обобщени в таблици за съответствие в литературата. На практика спектралната функция обикновено трябва да се проследи обратно до тези таблични случаи, например чрез частично разлагане на прости дроби. Като пример се разглежда обратно ПЛ на спектралната функция
Може да се използва изчислението на правото ПЛ:
Обратното ПЛ е
В случай на комплексни спрегнати полета, опростявания на са възможни чрез прилагане на тригонометрични тъждества.
Използва се в областта на компютърните системи за управление. Дискретното преобразуване на Лаплас може да се приложи към решетъчни функции.
Има -преобразование и -преобразование.
Нека е решетъчна функция, т.е. стойностите на тази функция се определят само в дискретни времена , където е цяло число, а е периодът на вземане на проби. Тогава, прилагайки преобразованието на Лаплас, се получава:
Ако се приложи смяната на променливите
получава се -преобразование:
В чистата и приложена вероятност преобразованието на Лаплас се определя като очаквана стойност. Ако X е случайна променлива с функция на плътност на вероятността f, тогава ПЛ на f се дава от очакването
където е очакването на случайната променлива .
По конвенция това се нарича преобразование на Лаплас на самата случайна променлива X. Тук заместването на s с −t дава функцията за генериране на моменти на X. Преобразованието на Лаплас има приложения в цялата теория на вероятностите, включително времена на първо преминаване на стохастични процеси като Марковски вериги и теория на подновяването.
От особена полза е възможността за възстановяване на кумулативната функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива X посредством ПЛ, както следва:[2]
Преобразованието на Лаплас може алтернативно да се дефинира по чисто алгебричен начин чрез прилагане на конструкция на поле от частни към конволюционния пръстен от функции на положителната полулиния. Полученото пространство от абстрактни оператори е точно еквивалентно на пространството на Лаплас, но в тази конструкция правото и обратно преобразования никога не трябва да бъдат изрично дефинирани (избягвайки свързаните с това трудности с доказването на конвергенция).[3]
Ако интегралът на Лаплас се сближава абсолютно при , тоест има граница
тогава той се сближава абсолютно и равномерно за и е аналитична функция за ( е реалната част на комплексната променлива ). Точната долна граница на множеството от числа , за които това условие е изпълнено, се нарича абсциса на абсолютната сходимост на преобразованието на Лаплас за функцията .
Преобразованието на Лаплас съществува в смисъл на абсолютна сходимост в следните случаи:
Забележка: Това са достатъчни условия за съществуване.
За съществуването на обратното ПЛ е достатъчно да бъдат изпълнени следните условия:
Забележка: Това са достатъчни условия за съществуване.
Преобразованието на Лаплас на конволюцията на два оригинала е произведение на изображенията на тези оригинали:
Доказателство на теоремата за конволюцията |
---|
Преобразование на Лаплас: За новата променлива |
Лявата страна на този израз се нарича интеграл на Дюамел, който играе важна роля в теорията на динамичните системи.
Образът на Лаплас на първата производна на оригинала по отношение на аргумента е произведението на изображението и аргумента на последния минус оригинала при нула вдясно:
В по-общ случай (производна от ти ред):
Образът на Лаплас на интеграла на оригинала по отношение на неговия аргумент е образът на оригинала, разделен на неговия аргумент:
Обратното преобразуване на Лаплас на производната на изображение по отношение на неговия аргумент е произведението на оригинала и неговия аргумент, взети с противоположния знак:
Обратното преобразуване на Лаплас на интеграла на изображение върху аргумент е оригиналът на това изображение, разделен на неговия аргумент:
Забавяне (закъснение) на изображението:
Забавяне (закъснение) на оригинала:
където е функция на Хевисайд.
Гранични теореми се наричат теоремите за начална и крайна стойност.
Теоремата за крайната стойност е много полезна, защото описва поведението на оригинала в безкрайност, използвайки проста връзка. Това се използва например за анализ на устойчивостта на траекторията на динамична система. Теоремата е полезна и защото дава дългосрочното поведение, без да се налага рационални дроби да се разлагат на прости дроби (или други трудни алгебрични преобразования). Ако има полюс в дясната равнина или полюси на въображаемата ос [напр. ако или ], тогава поведението на тази формула е недефинирано.
Умножение с число:
Свойства на ПЛ | Оригинал на функцията Времева област | Образ на функцията чрез ПЛ Област | Коментари |
---|---|---|---|
Линейност | Резултат от основните правила на интеграция. | ||
Първа производна на образа | е първата производна на . | ||
-та производна на образа | По-обща форма, -та производна на . | ||
Първа производна на оригинала | Приема се, че функцията е диференцируема и нейната производна се доближава до 0 експоненциално. Може да се получи чрез интегриране по части. | ||
Втора производна на | Приема се, че е два пъти диференцируема, като втората производна се доближава експоненциално към безкрайност. | ||
-та производна на | Приема се, че е пъти диференцируема и -тата ѝ производна клони към безкрайност. | ||
Интеграл от образа | |||
Интеграл от оригинала | е стъпаловидната функция на Хевисайд. Операторът (u * f)(t) е конволюция на u(t) и ƒ(T). | ||
Умножен аргумент на оригинала (времева скала) | |||
Изместeн аргумент на образа | Това свойство понякога е известно като „Теорема за затихване“ (или „Теорема за модулация“) с . | ||
Изместeн аргумент на оригинала | u(t) е стъпковата функция на Хевисайд (стъпкова функция). | ||
Произведение на оригинали (конволюция на образи) | Интегрирането се извършва по вертикалната линия Re(σ) = c, която е изцяло разположена в радиуса на конвергенция на F.[4] | ||
Конволюция на оригинали (произведение на образи) | ƒ(t) и g(t) са разширени до за определяне на конволюцията. | ||
Произведение на оригинал и синус | |||
Произведение на оригинал и косинус | |||
Произведение на оригинал и хиперболичен синус | |||
Произведение на оригинал и хиперболичен косинус | |||
Сложно спрягане | |||
Корелационна функция | |||
Периодична функция | ƒ(t) е периодична функция с период T така че Това е резултат от свойството за изместване във времевата област и геометричния ред. | ||
Периодично сумиране |
|
|
По-долу е дадена таблица на преобразувания на Лаплас за някои функции.
№ | Функция | Времева област | Честотна област | Област на сходимост за причинни системи |
---|---|---|---|---|
1 | делта-функция | | | |
1a | закъсняваща делта-функция | |||
2 | закъсняващи от -ти ред с честотно изместване | |||
2a | степенна от -ти ред, | |||
2a.1 | степенна от -ти ред, | |||
2a.2 | функция на Хевисайд | |||
2b | функция на Хевисайд със закъснение | |||
2c | „бърза стъпка“ | |||
2d | -ти ред с честотно изместване | |||
2d.1 | експоненциално затихване | |||
3 | експоненциално приближение | |||
4 | синус | |||
5 | косинус | |||
6 | хиперболичен синус | |||
7 | хиперболичен косинус | |||
8 | експоненциално затихващ синус | |||
9 | експоненциално затихващ косинус | |||
10 | корен -ти | |||
11 | натурален логаритъм | |||
12 | функция на Бесел от първи род я , | |||
13 | модифицирана функция на Бесел от първи род ред , | |||
14 | функция на Бесел от втори род нулев ред | |||
15 | модифицирана функция на Бесел от втори рода нулев ред | |||
16 | функция на грешките | |||
Бележки към таблицата:
|
Преобразуването на Лаплас се използва широко в много области на математиката (операционното изчисление), физиката и техниката:
Като цяло преобразованието на Лаплас е подходящо за решаване на линейни диференциални уравнения или системи от диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Предимството тук е алгебраизацията: производните в областта на изображението възникват като продукт на преобразуването на Лаплас на оригиналната функция с коефициента на Лаплас . Това трансформира:
Решенията на преобразуваните задачи са много по-лесни в областта на изображението, отколкото в оригиналната област. В специални случаи по този начин могат да се решават и линейни диференциални уравнения с полиномиални коефициенти.
Процедурата за решаване на диференциално уравнение с помощта на преобразованието на Лаплас е следната:
В машиностроенето и електротехниката, особено в контролното инженерство, преобразованието на Лаплас играе основна роля, особено поради теоремата за конволюцията. Тъй като поведението на системния изход може да бъде представено в спектралния диапазон като продукт на входната функция и предавателната функция (ПФ), специфична за системата и независима от съответното възбуждане, много свойства на системата могат да бъдат определени чрез изследване на ПФ (която се получава чрез прости комбинации от елементарни предавателни функции), без да се определя изричното решение на диференциалното уравнение на системата, например чрез обратно преобразование на Лаплас. Това прави възможно, например, елегантно да се анализира стабилността на линейни непроменливи във времето системи и да се анализира поведението на вибрациите (затихване) и скоростта както на управляваните системи, така и на затворените контролни контури. Тъй като предавателната функция в диапазона на Лаплас за се променя в ПФ в диапазона на Фурие, предавателните свойства могат да се представят графично по различни начини: чрез амплитудните и фазовите честотни характеристики и чрез логаритмичната амплитудно-фазова честотна характеристика (ЛАФЧХ, диаграма на Бо́де).
Преобразованието на Фурие (ПФ) е частен случай (при определени условия) на двустранното преобразование на Лаплас. Докато ПФ на функция е сложна функция на реална променлива (честота), преобразованието на Лаплас на функция е сложна функция на сложна променлива. Преобразованието на Лаплас обикновено се ограничава до преобразование на функции на t ≥ 0. Следствие от това ограничение е, че ПЛ на функция е холоморфна функция на променливата s. За разлика от ПФ, преобразованието на Лаплас на разпределение обикновено е функция с добро поведение. Техники на сложни променливи също могат да се използват за директно изследване на преобразованията на Лаплас. Като холоморфна функция ПЛ има представяне в степенен ред. Този степенен ред изразява функция като линейна суперпозиция на моменти на функцията. Тази перспектива има приложения в теорията на вероятностите.
Преобразованието на Фурие е еквивалентно на оценяване на двустранното ПЛ с въображаем аргумент s = iω или s = 2πiξ,[7] когато е изпълнено условието
Тази модификация на ПФ ( в Преобразование на Фурие – Ъглова честота) изисква коефициент 12π върху обратното ПФ. Тази връзка между преобразованията на Лаплас и Фурие често се използва за определяне на честотния спектър на сигнал или динамична система.
Горната връзка е валидна, както е посочено, тогава и само тогава, когато областта на конвергенция (OК) на съдържа въображаемата ос .
Например, функцията f(t) = cos(ω0t) има преобразование на Лаплас F(s) = s/(s2 + ω02), чиято OК е Re(s) > 0. Тъй като s = iω0 е полюс на F(s), заместването на s = iω във F(s) не дава преобразованието на Фурие на f(t)u(t), което съдържа членове, пропорционални на делта функциите на Дирак δ(ω ± ω0).
Въпреки това, равенството
е в сила и при много по-слаби условия. Например, това важи за горния пример, при условие че ограничението се разбира като слабо ограничение на мерките (слаба топология). Общите условия, свързващи границата на преобразованието на Лаплас на функция с границата на преобразованието на Фурие, приемат формата на теореми на Пейли–Винер.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.