Масов инерционен момент

В класическата механика, инерционният момент, наричан също масов инерционен момент или инерчен момент, (SI единици kg·m²·rad^-2,) е мярка за „съпротивата“, която едно тяло оказва на промяна в състоянието си на въртеливо движение. С други думи, това е инерцията на въртящото се тяло по отношение на въртенето му. Аналогично с дефиницията на обикновената инерция, обект, който се върти, се стреми да продължи да се върти с постоянна скорост и ще продължи да се върти, докато не му подейства външен въртящ момент. Инерционния момент играе роля във въртеливото движение, подобна на ролята на масата в линейната динамика, описвайки отношението между момент на импулса и ъглова скорост, въртящ момент и ъглово ускорение и др. Най-често се обозначава с I и понякога с J.

Серия статии на тема Класическа механика

Импулс  · Сила  · Енергия  · Работа  · Мощност  · Скорост  · Ускорение  · Инерционен момент  · Момент на сила  · Момент на импулса Основни понятия Пространство  · Време  · Маса  · Тегло  · Гравитация Формулировки Нютонова механика  · Механика на Лагранж  · Хамилтонова механика  · Раздели Кинематика  · Динамика  · Приложна механика  · Небесна механика  · Статистическа механика  · Механика на флуидите Закони за запазване Закон за запазване на механичната енергия  · Закон за запазване на импулса  · Закон за запазване на момента на импулса Учени Галилео Галилей  · Йохан Кеплер Исак Нютон  · Леонард Ойлер Пиер-Симон Лаплас  · Жан Лерон д'Аламбер Жозеф Луи Лагранж  · Уилям Роуън Хамилтон Огюстен Луи Коши

Инерционният момент обикновено се приема за скалар в по-простите явления. За анализ на по-сложни системи инерционният момент се третира като тензор.

Преглед

Въртяща се състезателка по фигурно пързаляне прибира ръцете си към тялото, намалявайки инерционния си момент и съответно увеличавайки скоростта си на въртене.

Тъй като инерционният момент около дадена ос показва колко трудно се изменя движението около тази ос, той включва не само масата на обекта, но и отдалечеността му от тази ос. Колкото по-далече е един обект от оста на въртене, толкова по-голям е неговият инерционен момент.

Скаларната форма на инерционния момент зависи от избрана ос на въртене, докато по-общата с тензорна форма не зависи.

Маховик – бързо въртящо се колело с голям инерционен момент и съответно голям момент на импулса. Използва се за стабилизация.

Скаларен инерционен момент

Нека твърдо тяло се върти с ъглова скорост ω около дадена ос. Тялото се състои от of N точкови маси m_i, чието отстояние от оста на въртене отбелязваме с r_i. Всяка точкова маса ще има линейна скорост v_i = ωr_i, така че пълната кинетична енергия E на тялото е:

${\displaystyle E=\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}v_{i}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}(\omega r_{i})^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}{\Big (}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}{\Big )}.}$

В този израз стойността в скобите наричаме „инерционен момент на тялото спрямо дадената ос“. Бележим го с главно латинско I:

${\displaystyle I=\sum \limits _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}\ .}$

Забележка: r_i в случая е разстоянието до избраната ос на въртене, а не до началната точка в координатната система. Затова инерционния момент е различен спрямо различните оси на въртене.

Инерционният момент на плътно твърдо тяло около зададена ос може да бъде намерен чрез заместване на сумата с интеграл:

${\displaystyle I=\int \limits _{V}\rho (\mathbf {r} )\,d(\mathbf {r} )^{2}\,\mathrm {d} V\!(\mathbf {r} ),}$

където r е радиус вектор на точка от тялото, ρ(r) е масовата плътност в точка r, и d(r) е разстоянието от точката r до оста на въртене. V е обемът на тялото.

Теореми

Теорема	Означения	Формула
Принцип на суперпозицията за инерционен момент за всяка избрана ос	Inet = Резултантния инерционен момент (около всяка избрана ос)	${\displaystyle I_{\mathrm {net} }=\sum _{j}I_{j}\,\!}$
Теорема на Щайнер за успоредните оси	M = маса на тялото d = перпендикулярното разстоянние между две оси през центъра на масата ICM = инерчен момент спрямо оста през центъра на масата Id = инерчен момент спрямо успоредната ос	${\displaystyle I_{d}=I_{\mathrm {com} }+Md^{2}\,\!}$
Теорема за перпендикулярните оси	i, j, k се отнасят за всяка една от възможни взаимно перпендикулярни оси	${\displaystyle I_{k}\leq I_{i}+I_{j}\,\!}$

Свойства

Суперпозиция

Инерционният момент е адитивна величина. Това значи, че ако тяло бъде разделено на няколко части, то инерционният момент на цялото тяло около дадена ос е равен на сумата от инерционните моменти на частите му около същата ос.

Вижте също

• момент на импулса
• въртящ момент
• въртеливо движение

Външни препратки

• elearning-phys.uni-sofia.bg Архив на оригинала от 2012-07-10 в Wayback Machine.
• phys.tu-sofia.bg Архив на оригинала от 2009-09-02 в Wayback Machine.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Moment of inertia в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​