Паралелепіпед

Паралелепі́пед (ад грэч. παράλλος — паралельны і грэч. επιπεδον — плоскасць) — прызма, асновай якой служыць паралелаграм, ці (раўнасільна) мнагаграннік, у якога шэсць граняў і кожная з іх — паралелаграм.

Адрозніваецца некалькі тыпаў паралелепіпедаў:

Прамавугольны паралелепіпед — гэта паралелепіпед, у якога ўсе грані — прамавугольнікі;
Прамы паралелепіпед — гэта паралелепіпед, у якога 4 бакавыя грані — прамавугольнікі;
Нахілены паралелепіпед — гэта паралелепіпед, бакавыя грані якога не перпендыкулярныя асновам.

Дзве грані паралелепіпеда, якія не маюць агульнага рабра, завуцца процілеглымі, а тыя, што маюць агульнае рабро — сумежнымі. Дзве вяршыні паралелепіпеда, не якія належаць адной грані, завуцца процілеглымі. Адрэзак, які злучае процілеглыя вяршыні, завецца дыяганаллю паралелепіпеда. Даўжыні трох рэбраў прамавугольнага паралелепіпеда, якія маюць агульную вяршыню, завуць яго вымярэннямі.

Паралелепіпед сіметрычны адносна сярэдзіны яго дыяганалі.
Любы адрэзак з канцамі, якія належаць паверхні паралелепіпеда і праходзяць праз сярэдзіну яго дыяганалі, падзяляецца ёю напалам; у прыватнасці, усе дыяганалі паралелепіпеда перасякаюцца ў адным пункце і падзяляюцца ёю напалам.
Процілеглыя грані паралелепіпеда паралельныя і роўныя.
Квадрат даўжыні дыяганалі прамавугольнага паралелепіпеда роўны суме квадратаў трох яго вымярэнняў.

Прамы паралелепіпед

Плошча бакавой паверхні S_б=Р_о*h, дзе Р_о — перыметр заснавання, h — вышыня

Плошча поўнай паверхні S_п=S_б+2S_о, дзе S_о — плошча асновы

Аб’ём V=S_о*h

Прамавугольны паралелепіпед

Плошча бакавой паверхні S_б=2c(a+b), дзе a, b — бакі асновы, c — бакавое рабро прамавугольнага паралелепіпеда

Плошча поўнай паверхні S_п=2(ab+bc+ac)

Аб’ём V=abc, дзе a, b, c — вымярэнні прамавугольнага паралелепіпеда.

Куб

Плошча бакавой паверхні S_б=4a², дзе а — рабро куба

Плошча поўнай паверхні S_п=6a²

Аб’ём V=a³

Адвольны паралелепіпед

Аб’ём і суадносіны ў нахіленым паралелепіпедзе часта вызначаюцца з дапамогай вектарнай алгебры. Аб’ём паралелепіпеда роўны абсалютнай велічыні змяшанага здабытку трох вектараў, вызначаных трыма бакамі паралелепіпеда, якія выходзяць з адной вяршыні. Суадносіны паміж даўжынямі бакоў паралелепіпеда і вугламі паміж імі дае сцвярджэнне, што вызначальнік Грама трох вызначаных вектараў роўны квадрату іх змяшанага здабытку^[1]^:215.

У матэматычным аналізе пад n-вымерным прамавугольным паралелепіпедам $B$ разумеюць мноства пунктаў $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ віду $B=\{x|a_{1}\leqslant x_{1}\leqslant b_{1},\ldots ,a_{n}\leqslant x_{n}\leqslant b_{n}\}$