Матрыца Якобі

Не блытаць з Трохдыяганальная матрыца.

Матрыца Яко́бі^[1] адлюстравання ${\displaystyle \mathbf {u} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ у пункце ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ апісвае галоўную лінейную частку адвольнага адлюстравання ${\displaystyle \mathbf {u} }$ у пункце ${\displaystyle x}$.

Названа ў гонар нямецкага матэматыка Карла Яко́бі.

Азначэнне

Няхай вызначана адлюстраванне ${\displaystyle \mathbf {u}$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,} якое ў некаторым пункце x мае ўсе частковыя вытворныя першага парадку. Матрыца ${\displaystyle J}$, састаўленая з частковых вытворных гэтых функцый у пункце x, называецца матрыцаю Якобі дадзенай сістэмы функцый.

${\displaystyle J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}$

Звязаныя азначэнні

• Калі ${\displaystyle m=n}$, то вызначнік ${\displaystyle |J|}$ матрыцы Якобі называецца вызначнікам Якобі ці якабія́нам сістэмы функцый ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$.
• Адлюстраванне называюць нявыраджаным, калі яго матрыца Якобі мае найбольшы магчымы ранг:

  ${\displaystyle \operatorname {rank} J=\min(m,n).}$

Уласцівасці

• Калі ўсе ${\displaystyle u_{i}}$ непарыўна дыферэнцавальныя ў наваколлі ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$, то

  ${\displaystyle \mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|).}$

• Няхай ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}}$ — дыферэнцавальныя адлюстраванні, ${\displaystyle J_{\varphi },J_{\psi }}$ — іх матрыцы Якобі. Тады матрыца Якобі кампазіцыі адлюстраванняў роўная здабытку іх матрыц Якобі:

  ${\displaystyle J_{\psi \circ \varphi }(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x).}$

Зноскі

1. Распаўсюджана няправільнае вымаўленне «матрыца Я́кабі».