From Wikipedia, the free encyclopedia
Камплексная плоскасць — гэта двухмерная рэчаісная прастора , ізаморфная полю камплексных лікаў . Кожны пункт такой прасторы — гэта ўпарадкаваная пара выгляду , дзе і — рэчаісныя лікі, і дзе першы элемент пары адпавядае рэчаіснай частцы, а другі элемент пары адпавядае ўяўнай частцы камплекснага ліку :
Упарадкаваную пару натуральна вытлумачваць як радыус-вектар з пачаткам у нулі і з канцом у пункце .
З прычыны ізамарфізму і , алгебраічныя аперацыі над камплекснымі лікамі пераносяцца на аперацыі над адпаведнымі ім радыус-вектарамі:
Вынікам кампактыфікацыі (замыкання) камплекснай плоскасці з'яўляецца пашыраная камплексная плоскасць — камплексная плоскасць, дапоўненая бясконца аддаленым пунктам, ізаморфная камплекснай сферы. Камплексная плоскасць звязана з камплекснай сферай, напрыклад, стэрэаграфічнай праекцыяй.
Камплексназначныя функцыі комплекснай пераменнай звычайна інтэрпрэтуюцца як адлюстраванні камплекснай плоскасці або сферы ў сябе. Паколькі прамыя на плоскасці (пры стэрэаграфічнай праекцыі) пераходзяць у акружнасці на сферы, якія ўтрымліваюць бясконца аддалены пункт, камплексныя функцыі зручней разглядаць на сферы.
Разглядаючы на камплекснай плоскасці тапалогію , можна ўводзіць паняцці адкрытых, замкнёных мностваў, і даваць вызначэнні такіх аб'ектаў як крывыя і фармуляваць такія ўласцівасці камплексных функцый як непарыўнасць, дыферэнцавальнасць і аналітычнасць, а камплекснае прадстаўленне дазваляе кампактна апісваць гэтыя ўласцівасці на мове суадносін паміж рэчаіснымі і ўяўнымі часткамі, а таксама, паміж модулямі і аргументамі адпаведных камплексных лікаў.
Асаблівую ролю ў камплексным аналізе адыгрываюць канформныя адлюстраванні.
Фундаментальнае паняцце наваколля ўводзіцца на камплекснай плоскасці вельмі проста - наваколлем пункта называецца мноства выгляду . Геаметрычна на камплекснай плоскасці наваколлі маюць вельмі просты выгляд — гэта проста акружнасці з цэнтрам у пэўных пунктах камплекснай плоскасці. Часам бывае зручна разглядаць праколатыя наваколлі .
Зараз азначым адкрытае мноства — паводле аднаго з варыянтаў класічнага азначэння з агульнай тапалогіі, адкрытым мноства будзе, калі яно для любога свайго пункта змяшчае некаторае яго наваколле. Паняцце наваколля ўжо вызначана, адпаведна, адкрытае мноства на цалкам вызначана.
Вызначыць гранічны пункт таксама няцяжка — пункт будзе гранічным для мноства , калі для адвольнага наваколля перасячэнне будзе непустым. Іншымі словамі, пункт з'яўляецца гранічным, калі ў адвольнай «блізкасці» да яго заўсёды ёсць пункты мноства. Мноства гранічных пунктаў часам называецца вытворным і абазначаецца як .
Мноства будзе называцца замкнёным, калі для яго справядліва ўключэнне . Ясна відаць, што для адвольнага мноства мноства будзе замкнёна; яно называецца замыканнем мноства .
Кропка называецца межавою для мноства , калі для адвольнага наваколля перасячэнні і пустыя. Мноства ўсіх межавых пунктаў называецца межавым мноствам або проста мяжой.
Мноства называецца ўсюды шчыльным ў іншым мностве , калі для адвольнага пункта і любога наваколля перасячэнне непустое.
Як вядома з элементарнай матэматыкі, на камплекснай плоскасці адлегласць паміж двума пунктамі роўна модулю іх рознасці. Вызначым адлегласць паміж пунктам і некаторым мноствам як велічыню .
На аснове гэтага паняцця ўжо можна вызначыць адлегласць паміж двума адвольнымі мноствамі ў : .
Мноства называецца звязным, калі для яго выконваюцца суадносіны . Калі дадзеная велічыня не роўная нулю, то мноства называецца нязвязным. Можна паказаць, што нязвязнае мноства можна прадставіць у выглядзе аб'яднання (канечнага або злічальнага) , дзе — неперасякальныя звязныя мноствы, так званыя звязнымі кампанентамі мноства . Магутнасць мноства звязных кампанент называецца парадкам звязнасці.
Мноства называецца зорным адносна пункта , калі для адвольнага пункта справядліва ўключэнне .
Мноства называецца выпуклым, калі яно зорнае адносна любога свайго пункта. Мноства называецца выпуклай абалонкай мноства , калі яно выпуклае, і для любога выпуклага мноства , якое змяшчае мноства , выконваецца ўключэнне.
Ламанаю называецца мноства пунктаў камплекснай плоскасці, што прадстаўляецца ў выглядзе аб'яднання адрэзкаў. Мноства называецца лінейна звязным, калі для двух адвольных пунктаў існуе ламаная такая, што выконваецца .
Можна даказаць, што любое лінейна звязнае мноства будзе звязным. Адсюль адразу вынікае, што ўсе выпуклыя і зорныя мноствы звязныя.
Крывой або шляхам на камплекснай плоскасці называецца адлюстраванне выгляду . Асабліва варта адзначыць, што пры такім азначэнні можна канкрэтызаваць не толькі выгляд крывой, які будзе залежаць ад аналітычных уласцівасцей функцыі , але і яе кірунак. Для прыкладу, функцыі і будуць вызначаць аднолькавую з віду крывую, але з процілеглымі кірункамі.
Крывыя і называюцца гоматопнымі, калі існуе крывая , якая залежыць ад параметра такім чынам, што і .
У камплексным аналізе часта карысна разглядаць поўную камплексную плоскасць[1], дапоўненую у параўнанні са звычайнай бясконца аддаленым пунктам: . Пры такім падыходзе неабмежавана нарастальная (па модулю) паслядоўнасць лічыцца збежнай да бясконца аддаленага пункта. Алгебраічныя аперацыі з бесканечнасцю не вызначаны, хоць некалькі алгебраічных суадносін маюць месца:
-наваколлем бясконца аддаленага пункта лічыцца мноства пунктаў , модуль якіх большы, чым , гэта значыць знешняя частка -наваколляў пачатку каардынат.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.