BE
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Формула Эйлера

Формула Эйлера

From Wikipedia, the free encyclopedia

Формула Эйлера
ГісторыяВытворныя формулыПрымяненне ў камплексным аналізеУзаемасувязь з трыганаметрыяйДоказПаказчыкавая форма камплекснага лікуГл. таксамаЗноскіЛітаратураСпасылкі
У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Формула Эйлера, значэнні.

Формула Эйлера звязвае камплексную экспаненту з трыганаметрычнымі функцыямі. Названа ў гонар Леанарда Эйлера, які яе ўвёў.

Thumb
Геаметрычны сэнс формулы Эйлера

Формула Эйлера сцвярджае, што для любога камплекснага ліку (рэчаіснага ў прыватнасці) x {\displaystyle x} {\displaystyle x} выконваецца наступная роўнасць:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x},

дзе

e {\displaystyle e} {\displaystyle e} — адна з найважнейшых матэматычных пастаянных, вызначаная наступнай формулай: e = lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x {\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}} {\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}},
i {\displaystyle i} {\displaystyle i} — уяўная адзінка.

Формула Эйлера ўпершыню была прыведзена ў артыкуле англійскага матэматыка Роджэра Котса (памочніка Ньютана) «Лагаметрыя» (лац.: Logometria), апублікаваным у часопісе «Філасофскія працы Каралеўскага таварыства» ў 1714 годзе[1] і перадрукавана ў кнізе «Гармонія мер» (лац.: Harmonia mensurarum), якая была выдадзена ў 1722 годзе, ужо пасля смерці аўтара[2]. Котс прывёў яе як невялікае сцвярджэнне сярод мноства геаметрычных пабудоў, якое пасля перакладу на сучасную матэматычную мову і выпраўлення памылкі ў знаку, мае выгляд[3]:

ln ⁡ ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = i x . {\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix.} {\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix.}

Эйлер апублікаваў формулу ў яе звыклым выглядзе ў артыкуле 1740 года і ў кнізе «Уводзіны ў аналіз бесканечна малых» (лац.: Introductio in analysin infinitorum) (1748)[4], пабудаваўшы доказ на роўнасці бесканечных раскладанняў у ступенныя рады правай і левай частак. Ні Эйлер, ні Котс не ўяўлялі сабе геаметрычнага вытлумачэння формулы: уяўленне аб камплексных ліках як кропках на камплекснай плоскасці з’явілася прыкладна на 50 год пазней у К. Веселя.

З дапамогай формулы Эйлера можна вызначыць функцыі sin {\displaystyle \sin } {\displaystyle \sin } і cos {\displaystyle \cos } {\displaystyle \cos } наступным чынам:

sin ⁡ x = e i x − e − i x 2 i , {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},} {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}
cos ⁡ x = e i x + e − i x 2 . {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.} {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}

Далей можна ўвесці паняцце трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Няхай x = i y {\displaystyle x=iy} {\displaystyle x=iy}, тады:

sin ⁡ i y = e − y − e y 2 i = i s h y , {\displaystyle \sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } \,y,} {\displaystyle \sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } \,y,}
cos ⁡ i y = e − y + e y 2 = c h y . {\displaystyle \cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } \,y.} {\displaystyle \cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } \,y.}

Вядомая тоеснасць Эйлера, якая звязвае пяць фундаментальных матэматычных канстант:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

з’яўляецца асобным выпадкам формулы Эйлера пры x = π {\displaystyle x=\pi } {\displaystyle x=\pi }.

Дзякуючы формуле Эйлера з’явіўся так званы трыганаметрычны і паказчыкавы запіс камплекснага ліку:

x = a + i b = | x | ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) = | x | e i φ . {\displaystyle x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{i\varphi }.} {\displaystyle x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{i\varphi }.}

Таксама значным вынікам можна лічыць формулы ўзвядзення камплекснага ліку ў адвольную ступень:

x = | x | e i φ {\displaystyle x=|x|e^{i\varphi }} {\displaystyle x=|x|e^{i\varphi }}, x n = | x | n e n i φ . {\displaystyle x^{n}=|x|^{n}e^{ni\varphi }.} {\displaystyle x^{n}=|x|^{n}e^{ni\varphi }.}

Геаметрычны сэнс дадзенай формулы наступны: пры ўзвядзенні ліку x {\displaystyle x} {\displaystyle x} ў ступень n {\displaystyle n} {\displaystyle n} яго адлегласць да цэнтра ўзводзіцца ў ступень n {\displaystyle n} {\displaystyle n}, а вугал павароту адносна восі O X {\displaystyle OX} {\displaystyle OX} павялічваецца ў n {\displaystyle n} {\displaystyle n} разоў.

Формула ўзвядзення ў ступень верная не толькі для цэлых n {\displaystyle n} {\displaystyle n}, але і для рэчаісных. У прыватнасці, паказчыкавы запіс ліку дазваляе знаходзіць карані любой ступені з любога камплекснага ліку.

Формула Эйлера выяўляе сувязь паміж матэматычным аналізам і трыганаметрыяй, а таксама дазваляе інтэрпрэтаваць функцыі сінуса і косінуса як узважаныя сумы экспаненцыяльнай функцыі:

cos ⁡ x = R e { e i x } = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}} {\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}
sin ⁡ x = I m { e i x } = e i x − e − i x 2 i . {\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.} {\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}

Вышэйпрыведзеныя ўраўненні можна атрымаць складваючы ці аднімаючы формулы Эйлера:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\;} {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\;}
e − i x = cos ⁡ ( − x ) + i sin ⁡ ( − x ) = cos ⁡ x − i sin ⁡ x {\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;} {\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;}

з наступным рашэннем адносна сінуса ці косінуса.

Таксама гэтыя формулы могуць служыць вызначэннем трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Напрыклад, робячы падстаноўку x = iy, атрымліваем:

cos ⁡ ( i y ) = e − y + e y 2 = cosh ⁡ ( y ) , {\displaystyle \cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y),} {\displaystyle \cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y),}
sin ⁡ ( i y ) = e − y − e y 2 i = − 1 i e y − e − y 2 = i sinh ⁡ ( y ) . {\displaystyle \sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).} {\displaystyle \sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).}

Камплексныя экспаненты дазваляюць спрасціць трыганаметрычныя разлікі, бо імі прасцей маніпуляваць, чым сінусоіднымі кампанентамі. Адзін з падыходаў прадугледжвае пераўтварэнне сінусоід ў адпаведныя экспаненцыяльныя выразы. Пасля спрашчэння вынік выразу застаецца рэчаісным. Напрыклад:

cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y = ( e i x + e − i x ) 2 ⋅ ( e i y + e − i y ) 2 = 1 2 ⋅ e i ( x + y ) + e i ( x − y ) + e i ( − x + y ) + e i ( − x − y ) 2 = 1 2 [ e i ( x + y ) + e − i ( x + y ) 2 ⏟ cos ⁡ ( x + y ) + e i ( x − y ) + e − i ( x − y ) 2 ⏟ cos ⁡ ( x − y ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}}

Сутнасць іншага падыходу ў прадстаўленні сінусоід ў якасці рэчаісных частак камплекснага выразу і правядзення маніпуляцый непасрэдна з камплексным выразам. Напрыклад:

cos ⁡ ( n x ) = R e {   e i n x   } = R e {   e i ( n − 1 ) x ⋅ e i x   } = R e {   e i ( n − 1 ) x ⋅ ( e i x + e − i x − e − i x )   } = R e {   e i ( n − 1 ) x ⋅ ( e i x + e − i x ) ⏟ 2 cos ⁡ ( x ) − e i ( n − 2 ) x   } = cos ⁡ [ ( n − 1 ) x ] ⋅ 2 cos ⁡ ( x ) − cos ⁡ [ ( n − 2 ) x ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} _{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} _{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}

Гэта формула выкарыстоўваецца для рэкурсіўнага вылічэння значэнняў cos(nx) для цэлых значэнняў n і адвольных значэнняў x (у радыянах).

Доказ формулы Эйлера можна правесці з выкарыстаннем рада Маклорэна. Раскладзём функцыю e i x {\displaystyle e^{ix}} {\displaystyle e^{ix}} у рад Маклорэна ў наваколлі кропкі a = 0 па ступенях x {\displaystyle x} {\displaystyle x}. Атрымаем:

e i x = 1 + i x 1 ! + ( i x ) 2 2 ! + ( i x ) 3 3 ! + … = ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + … ) + i ( x 1 ! − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … ) {\displaystyle e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)} {\displaystyle e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)}

Але

1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + … = cos ⁡ x {\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x} {\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x}

x 1 ! − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … = sin ⁡ x {\displaystyle {\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x} {\displaystyle {\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x}

Таму e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}, што і трэба было даказаць.

Паказчыкавая і трыганаметрычная формы камплексных лікаў звязаныя паміж сабой формулай Эйлера.

Няхай камплексны лік z {\displaystyle z} {\displaystyle z} у трыганаметрычнай форме мае выгляд z = r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )} {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}. Згодна з формулай Эйлера выраз у дужках можна замяніць на паказчыкавы выраз. У выніку атрымаем:

z = r e i φ {\displaystyle z=re^{i\varphi }} {\displaystyle z=re^{i\varphi }}

Гэты запіс называецца паказчыкавай формай камплекснага ліку. Гэтак жа, як і ў трыганаметрычнай форме, тут r = | z | {\displaystyle r=|z|} {\displaystyle r=|z|} , φ = arg ⁡ z {\displaystyle \varphi =\arg z} {\displaystyle \varphi =\arg z}.

  • Формула Муаўра
  • Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера
  1. [1]
    Cotes R. (1714–1716). "Logometria". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 29: 32. doi:10.1098/rstl.1714.0002.{{cite journal}}: Папярэджанні CS1: фармат даты (спасылка) Архіўная копія (нявызн.). Архівавана з першакрыніцы 6 ліпеня 2017. Праверана 6 лістапада 2022.
  2. [2]
    Cotes R. (1722). Harmonia mensurarum. p. 28.
  3. [3]
    González-Velasco Enrique A. (2011). Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History. p. 182.
  4. [4]
    Euler L. (1748). "Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis". Introductio in analysin infinitorum. Vol. 1. p. 104.
  • Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. Архівавана 25 верасня 2020.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
  • Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 530 с.
  • Hazewinkel, Michiel, рэд. (2001), "Euler formulas", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Гісторыя

Вытворныя формулы

Прымяненне ў камплексным аналізе

Узаемасувязь з трыганаметрыяй

Доказ

Паказчыкавая форма камплекснага ліку

Гл. таксама

Зноскі

Літаратура

Спасылкі