Тэарэма Безу

Тэарэма Безу сцвярджае, што астача ад дзялення мнагачлена ${\displaystyle P(x)}$ на мнагачлен ${\displaystyle (x-a)}$ роўная ${\displaystyle P(a)}$.

Будзем лічыць, што каэфіцыенты мнагачлена змяшчаюцца ў некаторым камутатыўным кальцы з адзінкай (напрыклад, у полі рэчаісных ці камплексных лікаў).

Доказ

Падзелім з астачаю мнагачлен ${\displaystyle P(x)}$ на мнагачлен ${\displaystyle x-a}$:

${\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x).}$

Паколькі ${\displaystyle \deg R(x)<\deg(x-a)=1}$, то ${\displaystyle R(x)}$ — мнагачлен ступені не вышэй чым 0. Падстаўляючы ${\displaystyle x=a}$, маем ${\displaystyle (a-a)Q(a)=0}$, і таму ${\displaystyle P(a)=R(a)}$.

Вынікі

• Лік ${\displaystyle a}$ з'яўляецца коранем мнагачлена ${\displaystyle p(x)}$ тады і толькі тады, калі ${\displaystyle p(x)}$ дзеліцца без астачы на двухчлен ${\displaystyle x-a}$ (адсюль, сярод іншага вынікае, што мноства каранёў мнагачлена ${\displaystyle P(x)}$ тоеснае з мноствам каранёў адпаведнага ўраўнення ${\displaystyle P(x)=0}$).
• Свабодны член мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі дзеліцца на любы цэлы корань мнагачлена (калі старшы каэфіцыент роўны 1, то ўсе рацыянальныя карані з'яўляюцца і цэлымі).
• Няхай ${\displaystyle a}$ — цэлы корань прыведзенага мнагачлена ${\displaystyle A(x)}$ з цэлымі каэфіцыентамі. Тады для любога цэлага ${\displaystyle k}$ лік ${\displaystyle A(k)}$ дзеліцца на ${\displaystyle a-k}$.

Прыкладанні

Тэарэма Безу і вынікі з яе дазваляюць лёгка знаходзіць рацыянальныя карані алгебраічных ураўненняў з рацыянальнымі каэфіцыентамі.

Гл. таксама

• Асноўная тэарэма алгебры