BE
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Тэарэма Баеса

Тэарэма Баеса

From Wikipedia, the free encyclopedia

Тэарэма Баеса
ФармулёўкаДоказІнтэрпрэтацыяПрыкладРазвязаннеЗноскі

Тэарэ́ма Ба́еса — адна з асноўных тэарэм тэорыі імавернасцей, якая дазваляе падлічыць умоўную імавернасць падзеі пры выкананні іншай, статыстычна звязанай з ёй падзеі. Названа ў гонар Томаса Баеса.

Калі { A 1 , A 2 , … , A n } {\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}} {\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}} — поўная група падзей і ўсе P ( A k ) > 0 {\displaystyle P(A_{k})>0} {\displaystyle P(A_{k})>0}, а B {\displaystyle B} {\displaystyle B} — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то[1]:39 P ( A k | B ) = P ( A k ) P ( B | A k ) P ( B ) = P ( A k ) P ( B | A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B | A i ) . {\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.} {\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.}

Доказ

Згодна з тэарэмай множання імавернасцей P ( B ) P ( A k | B ) = P ( A k B ) = P ( A k ) P ( B | A k ) . {\displaystyle P(B)P(A_{k}|B)=P(A_{k}B)=P(A_{k})P(B|A_{k}).} {\displaystyle P(B)P(A_{k}|B)=P(A_{k}B)=P(A_{k})P(B|A_{k}).}

Адсюль праз формулу поўнай імавернасці вынікае, што P ( A k | B ) = P ( A k ) P ( B | A k ) P ( B ) = P ( A k ) P ( B | A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B | A i ) . {\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.} {\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.}

Падзеі A k {\displaystyle A_{k}} {\displaystyle A_{k}} можна інтэрпрэтаваць як гіпотэзы, B {\displaystyle B} {\displaystyle B} — вынік нейкага выпрабавання. Імавернасці P ( A k ) {\displaystyle P(A_{k})} {\displaystyle P(A_{k})} — апрыёрныя[en] (вядомыя або меркаваныя яшчэ перад выпрабаваннем) імавернасці гіпотэз A k {\displaystyle A_{k}} {\displaystyle A_{k}}. Імавернасці P ( A k | B ) {\displaystyle P(A_{k}|B)} {\displaystyle P(A_{k}|B)} — апастэрыёрныя[en] (вылічаныя пасля выпрабавання) імавернасці. Такім чынам, тэарэма Баеса дазваляе вылічыць апастэрыёрныя імавернасці гіпотэз праз іхнія апрыёрныя імавернасці і ўмоўныя імавернасці P ( B | A k ) {\displaystyle P(B|A_{k})} {\displaystyle P(B|A_{k})}[1]:39.

Няхай маецца дзве скрыні з шарамі. У першай скрыні 9 белых шароў і 1 чорны, а ў другой скрыні 9 чорных шароў і 1 белы. Спачатку выпадкова выбіраецца адна са скрынь, пасля з яе дастаецца шар (у кожнага шара, як і ў кожнай скрыні, імавернасці выбару роўныя паміж сабой). Вядома, што ў канцы працэдуры быў выбраны чорны шар. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што шар даставаўся з першай скрыні.

Развязанне

Увядзём наступныя абазначэнні:

  • A 1 {\displaystyle A_{1}} {\displaystyle A_{1}} — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з першай скрыні».
  • A 2 {\displaystyle A_{2}} {\displaystyle A_{2}} — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з другой скрыні».
  • B {\displaystyle B} {\displaystyle B} — падзея (вынік выпрабавання) «быў выбраны чорны шар».

З умовы задачы вядомыя апрыёрныя імавернасці P ( A 1 ) = P ( A 2 ) = 1 / 2 {\displaystyle P(A_{1})=P(A_{2})=1/2} {\displaystyle P(A_{1})=P(A_{2})=1/2}. З колькасці белых і чорных шароў у кожнай скрыні можна падлічыць умоўныя імавернасці P ( B | A 1 ) = 1 / 10 {\displaystyle P(B|A_{1})=1/10} {\displaystyle P(B|A_{1})=1/10}, P ( B | A 2 ) = 9 / 10 {\displaystyle P(B|A_{2})=9/10} {\displaystyle P(B|A_{2})=9/10}. Патрабуецца знайсці апастэрыёрную імавернасць P ( A 1 | B ) {\displaystyle P(A_{1}|B)} {\displaystyle P(A_{1}|B)} — імавернасць выбару першай скрыні, калі вядома, што выняты шар быў чорным.

Скарыстаем тэарэму Баеса: P ( A 1 | B ) = P ( A 1 ) P ( B | A 1 ) P ( A 1 ) P ( B | A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) = {\displaystyle P(A_{1}|B)={\frac {P(A_{1})P(B|A_{1})}{P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})}}=} {\displaystyle P(A_{1}|B)={\frac {P(A_{1})P(B|A_{1})}{P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})}}=} = ( 1 / 2 ) ∗ ( 1 / 10 ) ( 1 / 2 ) ∗ ( 1 / 10 ) + ( 1 / 2 ) ∗ ( 9 / 10 ) = 1 / 10. {\displaystyle ={\frac {(1/2)*(1/10)}{(1/2)*(1/10)+(1/2)*(9/10)}}=1/10.} {\displaystyle ={\frac {(1/2)*(1/10)}{(1/2)*(1/10)+(1/2)*(9/10)}}=1/10.}

Можна падлічыць і апастэрыёрную імавернасць другой гіпотэзы: P ( A 2 | B ) = 1 − P ( A 1 | B ) = 9 / 10. {\displaystyle P(A_{2}|B)=1-P(A_{1}|B)=9/10.} {\displaystyle P(A_{2}|B)=1-P(A_{1}|B)=9/10.}

Такім чынам, перад эксперыментам абедзве гіпотэзы мелі роўную імавернасць (апрыёрныя імавернасці роўныя 1 / 2 {\displaystyle 1/2} {\displaystyle 1/2}, няма падстаў аддаваць перавагу той ці іншай гіпотэзе). Карыстаючыся вынікамі эксперыменту (выманне чорнага шара), мы абнавілі нашую ўпэўненасць у тым, якая з гіпотэз насамрэч адбылася (у другой гіпотэзы апастэрыёрная імавернасць вышэй, чым у першай). Такая працэдура ляжыць у аснове статыстычнага метаду баесавага высноўвання[en].

  1. [1]
    Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Фармулёўка

Інтэрпрэтацыя

Прыклад

Зноскі