Бесканечнасць

Бескане́чнасць (абазначаецца як ∞) — паняцце ў матэматыцы і філасофіі, якое абазначае нейкую велічыню, якая не мае меж або канца. Узнікае ў розных раздзелах матэматыкі ў асноўным як проціпастаўленне паняццю канечнага.

Бесканечнасць
Натацыя	∞[d]
Процілегла	0[1] і Бясконца малая велічыня
Медыяфайлы на Вікісховішчы

${\displaystyle \infty }$

Паняцце бесканечнасці выкарыстоўваецца ў аналітычных і геаметрычных тэорыях для абазначэння «няўласных» ці «бесканечна аддаленых» элементаў, у тэорыі мностваў і матэматычнай логіцы пры вывучэнні «бесканечных мностваў», а таксама ў іншых раздзелах матэматыкі. Уяўленне пра бесканечна малыя і бесканечна вялікія пераменныя велічыні з'яўляецца адным з галоўных у матэматычным аналізе^[2].

У канцы XIX — пачатку XX стагоддзяў Георг Кантар фармалізаваў многія ідэі, звязаныя з бесканечнасцю і бесканечнымі мноствамі. Паводле яго тэорыі, існуюць бесканечныя мноства розных памераў^[3]. Напрыклад, магутнасць мноства цэлых лікаў ёсць злічальная бесканечнасць, а магутнасць мноства рэчаісных лікаў ёсць незлічальная бесканечнасць.

Сімвал

Джон Валіс увёў сімвал бесканечнасці ў навуковай літаратуры.

У 1655 годзе Джон Валіс выдае вялікі трактат «Аб канічных сячэннях» (De sectionibus conicis), дзе на стар. 5 паяўляецца прыдуманы ім^[4][5] сімвал бесканечнасці: ∞. Ва Унікодзе бесканечнасць абазначана сімвалам ∞ (U+221E).

Гісторыя агульнага паняцця бесканечнасці

Бесканечнае і канечнае — філасофскія катэгорыі, якія выражаюць непарыўна звязаныя паміж сабой процілеглыя бакі аб'ектыўнага свету.

Бесканечнае характарызуе неабмежаваную разнастайнасць прасторавых структур матэрыі, яе уласцівасцей і ўзаемасувязей, колькасную невычарпальнасць у глыбіню, існаванне бесканечнага мноства якасна розных узроўняў яе структурнай арганізацыі.

У гісторыі навукі спачатку ўвага канцэнтравалася на колькасных аспектах бесканечнага, якія вывучаліся матэматыкай (гл. бесканечна малая і бесканечна вялікая). Ідэі бесканечнасці сустракаліся ўжо ў выказваннях старажытных індыйцаў. Большасць старажытнагрэчаскіх філосафаў лічыла, што свет канечны і абмежаваны цвёрдым нябесным купалам. Такога ж погляду прытрымлівалася хрысціянства. Толькі Мікалай Кузанскі і Джардана Бруна ў 15—16 стст. зноў загаварылі пра бесканечнасць свету.

Канечнае з'яўляецца адмаўленнем бесканечнага і ўяўляе сабой усякі абмежаваны ў прасторы і часе аб'ект. Усякая канкрэтная якасць у свеце канечная, існуе ў пэўных межах меры. Канечнае азначае таксама абмежаванасць і часовасць зямнога быцця наогул, у гэтым значэнні яно дапускае прынцыповую магчымасць далейшага, незямнога быцця.

Матэматычнае паняцце бесканечнасці

1) Прадстаўленне аб бесканечна малых і бесканечна вялікіх пераменных велічынях з'яўляецца адным з асноўных у матэматычным аналізе. Папярэдняя сучаснаму падыходу да паняцця бесканечна малой канцэпцыя, па якой канечныя велічыні складаліся з бесканечна вялікага ліку бесканечна малых «непадзельных» (гл. метад «непадзельных»), трактаваць не як зменныя, а як пастаянныя і меншыя любой канечнай велічыні, можа служыць адным з прыкладаў незаконнага адрыву бесканечнага ад канечнага: рэальны сэнс мае толькі раскладанне канечных велічынь на неабмежавана нарастаючы лік неабмежавана меншаючых складнікаў.

2) Зусім у іншай лагічнай абстаноўцы бесканечнасць паяўляецца ў матэматыцы ў выглядзе «няўласных» бесканечна аддаленых геаметрычных вобразаў (гл. бесканечна аддаленыя элементы).

Тут, напрыклад, бесканечна аддаленая кропка на прамой a разглядаецца як асаблівы пастаянны аб'ект, «далучаны» да звычайных канечных кропак. Аднак непарыўная сувязь бесканечнага з канечным выяўляецца і тут, хаця б пры праектаванні з цэнтра, які ляжыць па-за прамой, пры якім бесканечна аддаленай кропцы аказваецца адпаведнай прамая, якая праходзіць праз цэнтр праектавання і паралельная асноўнай прамой a.

Аналагічны характар мае папаўненне сістэмы рэчаісных лікаў двума «няўласнымі» лікамі ${\displaystyle +\infty }$ і ${\displaystyle -\infty }$, якое адпавядае многім запытам аналізу і тэорыі функцый рэчаіснага пераменнага.

Можна падысці з такой жа пункта гледжання і к папаўненню рада натуральных лікаў 1, 2, 3, …, трансфінітнымі лікамі ${\displaystyle \omega ,\omega +1,\dots ,2\omega ,2\omega +1,\dots .}$

У сувязі з адрозненнем паміж пераменнымі бесканечна малымі і бесканечна вялікімі велічынямі, з аднаго боку, і «няўласнымі» бесканечна вялікімі лікамі, якія разглядаюцца як пастаянныя, — з другога, узніклі тэрміны «патэнцыяльная» бесканечнасць (для першых) і «актуальная» бесканечнасць (для другіх). У гэтым першапачатковым разуменні (аб іншым, сучасным разуменні, гл. ніжэй) спрэчку паміж прыхільнікамі патэнцыяльнай і актуальнай бесканечнасці можна лічыць закончанай.

Бесканечна малыя і бесканечна вялікія, якія ляжаць у аснове азначэння вытворнай (як адносіны бесканечна малых) і інтэграла (як сумы бесканечна вялікага ліку бесканечна малых) і прымыкаючых сюды канцэпцый матэматычнага аналізу, павінны ўспрымацца як «патэнцыяльныя». Нараўне з гэтым у належнай лагічнай абстаноўцы ў матэматыку цалкам заканамерна ўваходзяць і «актуальныя» бесканечна вялікія «няўласныя» лікі (і нават у многіх розных аспектах: як колькасныя і парадкавыя трансфінітныя лікі ў тэорыі мностваў, як няўласныя элементы ${\displaystyle +\infty }$ і ${\displaystyle -\infty }$ сістэмы рэчаісных лікаў і т. д.).

У матэматыцы прыходзіцца мець справу з двума спосабамі далучэння да лікавай сістэме бесканечных «няўласных» элементаў.

а) З праектыўнага пункта гледжання на прамой знаходзіцца адна «бесканечна аддаленая кропка». У звычайнай метрычнай сістэме каардынат гэтай кропцы натуральна прыпісаць абсцысу ${\displaystyle \infty }$. Такое ж далучэнне да лікавай сістэмы адной бесканечнасці без знака ўжываецца ў тэорыі функцый камплекснага пераменнага. У элементарным аналізе пры вывучэнні рацыянальных функцый f(x) = P(x)/Q(x), дзе P(x) і Q(x) — мнагачлены, у тых пунктах, дзе Q(x) мае нуль вышэйшага парадку, чым P(x), натуральна прыняць ${\displaystyle f(x)=\infty }$. Для няўласнага элемента ${\displaystyle \infty }$ устанаўліваюццца такія правілы дзеянняў:

${\displaystyle \infty +a=\infty ,}$ калі a канечнае;

${\displaystyle \infty +\infty }$ не мае сэнсу;

${\displaystyle \infty \cdot a=\infty ,}$ калі ${\displaystyle a\neq 0}$;

${\displaystyle \infty \cdot 0}$ не мае сэнсу.

Няроўнасці з удзелам ${\displaystyle \infty }$ не разглядаюцца: бессэнсоўна пытацца, больш ці менш ${\displaystyle \infty }$, чым канечнае a.

б) Пры вывучэнні рэчаісных функцый рэчаіснага пераменнага сістэму рэчаісных лікаў дапаўняюць двума няўласнымі элементамі ${\displaystyle +\infty }$ і ${\displaystyle -\infty }$. Тады можна прыняць, што ${\displaystyle -\infty <a<+\infty }$ для любога канечнага a, і захаваць асноўныя ўласцівасці няроўнасцей ў пашыранай лікавай сістэме. Для ${\displaystyle +\infty }$ і ${\displaystyle -\infty }$ устанаўліваюцца такія правілы дзеянняў:

${\displaystyle (+\infty )+a=+\infty ,}$ калі ${\displaystyle a\neq -\infty }$;

${\displaystyle (-\infty )+a=-\infty ,}$ калі ${\displaystyle a\neq +\infty }$;

${\displaystyle (+\infty )+(-\infty )}$ пазбаўлена сэнсу;

${\displaystyle (+\infty )\cdot a=+\infty ,}$ калі ${\displaystyle a>0}$;

${\displaystyle (+\infty )\cdot a=-\infty ,}$ калі ${\displaystyle a<0}$;

${\displaystyle (-\infty )\cdot a=-\infty ,}$ калі ${\displaystyle a>0}$;

${\displaystyle (-\infty )\cdot a=+\infty ,}$ калі ${\displaystyle a<0}$;

${\displaystyle (+\infty )\cdot 0}$ і ${\displaystyle (-\infty )\cdot 0}$ не маюць сэнсу.

3) Асноўная цікавасць, але і асноўныя цяжкасці матэматычнага вучэння аб бесканечнасці засяроджваюцца на пытанні аб прыродзе бесканечных мностваў матэматычных аб'ектаў. Варта, у прыватнасці, мець на ўвазе, што дасягнутая цяпер поўная адцягненасць і закончанасць тэорыі бесканечна вялікіх і бесканечна малых зменных велічынь заключаецца толькі ў звядзенні ўсіх цяжкасцей гэтай тэорыі да пытання абгрунтавання вучэння аб ліку, у якое істотна ўваходзіць уяўленне аб бесканечнасці сістэмы лікаў. Сцвярджэнне аб тым, што y бесканечна малое, мае сэнс толькі пры ўказанні характару змянення y у залежнасці ад якога-небудзь іншага пераменнага x; напрыклад, кажуць, што y бесканечна малое пры ${\displaystyle x\to a}$, калі пры любым ${\displaystyle \epsilon >0}$ існуе такое ${\displaystyle \delta >0}$, што з ${\displaystyle |x-a|<\delta }$ вынікае ${\displaystyle |y|<\epsilon }$. У само гэтае азначэнне ўжо ўваходзіць дапушчэнне, што функцыя y=f(x) вызначана для бесканечнага мноства значэнняў x (напрыклад, для ўсіх рэчаісных x, дастаткова блізкіх да a).

У тэорыі мностваў тэрмінам «актуальная» і «патэнцыяльная» бесканечнасць надаюць звычайна глыбокі сэнс, які не мае нічога агульнага з найменнем кожнай бесканечнай магутнасці «актуальна бесканечным лікам». Справа ў тым, што бесканечныя сістэмы матэматычных аб'ектаў (напрыклад, натуральных або рэчаісных лікаў) ніколі не задаюцца простым пералікам, як гэта магчыма для канечных сістэм аб'ектаў. Было б відавочным абсурдам меркаваць, што хто-небудзь «утварыў» мноства натуральных лікаў, пералічыўшы іх фактычна «ўсе» адзін за адным. На самай справе мноства натуральных лікаў вывучаюць, зыходзячы з працэсу ўтварэння яго элементаў пераходам ад n да n+1. У выпадку кантынуума рэчаісных лікаў ужо разгляд аднаго яго элемента — рэчаіснага ліку — прыводзіць да вывучэння працэсу ўтварэння яго паслядоўных прыбліжаных значэнняў, а разгляд усяго мноства рэчаісных лікаў прыводзіць да вывучэння агульных уласцівасцей такога роду працэсаў утварэння яго элементаў. У гэтым іменна сэнсе сама бесканечнасць натуральнага рада, або сістэмы ўсіх рэчаісных лікаў (кантынуума), можа характарызавацца як бесканечнасць толькі «патэнцыяльная».

Пункту гледжання патэнцыяльнай бесканечнасці проціпастаўляецца погляд на бесканечныя мноствы як «актуальна» зададзеныя, незалежна ад працэсу іх утварэння. Высвятленне пытання аб тым, у якой меры і пры якіх умовах пры вывучэнні бесканечных мностваў законна такое абстрагаванне ад працэсу іх утварэння, яшчэ нельга лічыць завершаным.

Гл. таксама

• Бесканечна малая і бесканечна вялікая
• Бесканечнае мноства
• Тэарэма аб бесканечных малпах

Зноскі

1. https://www.google.com/books/edition/Essays_on_the_Foundations_of_Mathematics/bwLSTW9uZMoC?hl=en&gbpv=1&d&pg=PA163&printsec=frontcover
2. Бесконечность // Математическая энциклопедия в 5 т. Т. 1.
3. Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). «The Princeton Companion to Mathematics». Princeton University Press. p. 616. ISBN 0-691-11880-9.
4. Scott, Joseph Frederick (1981), The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703) (2 ed.), AMS Bookstore, p. 24, ISBN 0-828-40314-7, Chapter 1, page 24
5. Martin-Löf, Per; Mints, G. E. (1990), COLOG-88: International Conference on Computer Logic Tallinn, USSR, December 12–16, 1988: proceedings, Springer, p. 147, ISBN 3-540-52335-9, page 147

Літаратура

• Колмогоров А.Н. Бесконечность // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — 576 с. — 150 000 экз. Стл. 455—458.
• Нагорный Н.М. Абстракция актуальной бесконечности // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — 576 с. — 150 000 экз. Стл. 43.
• Нагорный Н.М. Абстракция потенциальной осуществимости // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — 576 с. — 150 000 экз. Стл. 44—45.
• Бесканечнасць // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 3: Беларусы — Варанец / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1996. — Т. 3. С. 127.

У філасофіі

• Бесканечнае і канечнае // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 3: Беларусы — Варанец / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1996. — Т. 3. С. 127.
• Кармин А. С. Познание бесконечного. М., 1981.
• Бурова И. Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. М., 1987.
• Жуков Н. И. Философские основания математики. 2 изд. Мн., 1990.

Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Бесканечнасць
• Георг Кантар і нараджэнне тэорыі трансфінітных мностваў. (руск.)
• To Infinity and Beyond — Horizon — BBC.