Нарадзіўся ў в. Маўчаны, Сеньненскі павет, Магілёўская губэрня, Расейская імпэрыя (цяпер гэтая вёска ўвайшла ў склад вёскі ЗастадольлеСеньненскага раёнуВіцебскай вобласьці). У 1922 годзе паступіў у Віцебскі мастацка-практычны інстытут[3][4] (у 1923 годзе перайменаваны ў Віцебскі мастацкі тэхнікум). Паводле іншых зьвестак, паступіў у 1923 годзе[5]. У 1923 годзе пачаў ўдзельнічаць у мастацкіх выставах у Менску, [6], навучаўся ў Марка Шагала і Міхаіла Керзіна. Скончыў тэхнікум у 1925 годзе. Ад 1925 да 1928 году навучаўся ў Акадэміі мастацтваў у Ленінградзе у Р. Р. Баха, М. Мізьнера, У. Лішава[7]. Вучыўся ў Мастацкім інстытуце ў Кіеве (1928—1929). Вышэйшую асьвету атрымаў за кошт грашовага ахвяраваньня Якуба Коласа, для жонкі якога ў 1945 годзе зрабіў помнік на Вайсковых могілках у Менску[8]. Заслужаны дзяяч мастацтваў БССР (1939). Народны мастак БССР (1944). У 1945 годзе ажаніўся на Галіне Гарэлавай, дачцы акадэміка Г. М. Гарэлава. Ляўрэат Сталінскай прэміі другой ступені (1946; 1948). Правадзейны сябар Акадэміі мастацтваў СССР (1958). Народны мастак СССР (1973).
З 1980 году працаваў у Менску, старшыня Майстэрні скульптуры АМ СССР. Узнагароджаны ордэнам Працоўнага Чырвонага Сьцяга (1940 і 1949), ордэнам Леніна (1955 і 1978), у 1971 — ордэнам Кастрычніцкай рэвалюцыі, у 1978 — ордэнам «Дружба народов». Сярод вядомых узнагарод таксама Срэбны мэдаль Сусьветнай выставы ў Брусэлі (1958) і мэдаль Францішка Скарыны (1992).
18 лютага 2000 году на вуліцы Азгура ў Менску адчынены[9] мэмарыяльны музэй-майстэрня З. І. Азгура ў будынку творчай майстэрні, пабудаванай у 1984[10] годзе па праекце архітэктара В.Н.Аладава.
Мэмарыяльная дошка ў памяць аб скульптары ўсталявана ў горадзе Менску на фасадзе дома № 13 па праспэкце Незалежнасьці, у якім жыў З. І. Азгур[11].
Мэмарыяльная дошка на будынку былога мастацкага тэхнікума, у якім навучаўся З. І. Азгур, у Віцебску (вуліца Суворава, 3).
Імя З. І. Азгура носіць першая сярэдняя агульнаадукацыйная школа і вуліца ў горадзе Сянно.
У 2008 годзе НБРБ выпусьціў памятную монэту ў гонар 100-годзьдзя з дня нараджэньня Азгура.
Працаваў у галіне станковай і манумэнтальнай скульптуры[4].
Партрэты
«Ліцейшчык» (1925—1926)
«Трактарыст» (1930)
«Будаўнік» (1930)
Гракх Бабёф, Фэлікс Дзяржынскі, А. Ф. Мяснікоў (1934, для Дома ўрада ў Менску)[4]
Леў Даватар (1943, Нацыянальны мастацкі музэй Рэспублікі Беларусь)
А. І. Радзімцаў (гіпс, 1943, Дзяржаўны Рускі музэй; бронза, 1943, Трацьцякоўская галерэя), , М. Ф. Сяльніцкі (1943); Сталінская прэмія другой ступені (1946)[4].
Партызан бацька Мінай (1943, Нацыянальны мастацкі музэй Рэспублікі Беларусь)
Энцыклапедыя літаратуры і мастацтва Беларусі: У 5-і т. / Рэдкал.: І. П. Шамякін (гпл. рэд.) і інш.. — Мн.: Беларус. Сав. Энцыклапедыя, 1984. — Т.1. А капэла – Габелен. — С.59.
Збор помнікаў гісторыі і культуры Беларусі. Гомельская вобласць / Рэд. кал.: С. В. Маруэлеў (гал. рэд.) і інш.. — Мн.: Беларус. Сав. Энцыклапедыя, 1985. — С.274.