Тэарэма Пітагора

Тэарэ́ма Пітаго́ра — адна з асноватворных тэарэм эўклідавай геамэтрыі, якая паказвае сувязь паміж даўжынямі бакоў прастакутнага трыкутніку. Тэарэма, магчыма, была вядомая да Пітагора^[1][2], але яму прыпісваюць яе доказ у агульным выглядзе^[3]. Існуе шэраг доказаў, што бабілёнскія матэматыкі разумелі формулу, хоць і мала яе ўжывалі ў рамках матэматычнай структуры^[4][5]. Мэсапатамскія, індыйскія і кітайскія матэматыкі адкрылі тэарэму незалежна адзін ад аднаго, а ў некаторых выпадках, прыводзілі доказы для асобных выпадкаў.

Сума плошчаў двух квадратаў з даўжынямі a і b роўная плошчы квадрата, у якога даўжыня супадае з гіпатэнузай трыкутніка c.

Тэарэма гучыць наступным чынам:

Ва ўсякім прастакутным трыкутніку плошча квадрата, пабудаванага на гіпатэнузе роўная суме плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах.

Пазначыўшы даўжыню гіпатэнузы трыкутніка праз c, а даўжыні катэтаў праз a і b, атрымоўваем наступную роўнасьць:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,}$

Такім чынам, тэарэма Пітагора паказвае сувязь, якая дазваляе вызначыць даўжыню боку прастакутнага трыкутніка па двух іншых. Тэарэма Пітагора зьяўляецца асобным выпадкам тэарэмы косінусаў, якая ўсталёўвае сувязь паміж даўжынямі бакоў адвольнага трыкутніка.

Таксама мае месца адваротнае сьцьверджаньне:

Для ўсякай тройкі дадатных лікаў a, b і c, такі што ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, існуе прастакутны трыкутнік з катэтамі a і b і гіпатэнузай c.

Тэарэме былі прыкладзены шмат доказаў — магчыма, найбольш чым для любой іншай матэматычнай тэарэмы. Яны вельмі разнастайныя, уключаючы як геамэтрычныя, гэтак і аьлгебраічныя доказы. Некаторыя зь іх налічваюць тысячу гадоў. Тэарэма можа быць абагульненая да шматмэрных прастораў, не эўклідавых прастораў, да аб’ектаў, якія не зьяўляюцца прастакутнымі трыкутнікамі. Тэарэма Пітагора прыцягвае да сябе цікавасьць па-за межамі матэматыкі, як сымбаль містыкі або інтэлектуальнай сілы.

Гісторыя

Пачаткова тэарэма вызначала стасункі паміж плошчамі квадратаў, пабудаваных на гіпатэнузе і катэтах прастакутнага трыкутніка: квадрат, пабудаваны на гіпатэнузе, роўнавялікі суме квадратаў, пабудаваных на катэтах.

Глядзіце таксама

• Пітагорава тройка
• Тэарэма Мэнэлая