матэматычная апэрацыя From Wikipedia, the free encyclopedia
Множаньне[1][2][3][4] (памнажэньне) — бінарныя апэрацыя над матэматычнымі аб’ектамі.
Пазначаецца сымбалем ×, кропкай ·, астэрыскам *. У альгебраічных выразах знак множаньня звычайна апускаецца. Для пазначэньня пасьлядоўнага множаньня многіх элемэнтаў выкарыстоўваецца сымбаль .
Апэранды множаньня завуцца множнікамі, вынік — здабыткам. Множнікі могуць быць матэматычнымі аб’ектамі як адной прыроды, так і рознай. Здабытак таксама можа быць матэматычных аб’ектам зусім іншага тыпу, адрознага ад тыпу множнікаў.
Апэрацыя множаньня галоўным чынам мае ўласьцівасьць асацыятыўнасьці, але камутатыўнасьць для яе не абавязковая.
Апэрацыя множаньня натуральных лікаў азначаецца праз апэрацыю складаньня. Для таго, каб памножыць натуральны лік n на натуральны лік m неабходна вылічыць суму, у якой колькасьць n бярэцца m разоў
Напрыклад,
Множаньне натуральных лікаў камутатыўнае: ад перастаноўкі множнікаў здабытак не зьмяняецца.
Множаньне шматзначных натуральных лікаў можна зьвесьці да шэрагу множаньняў адназначных лікаў з наступным складаньнем вынікаў. У адрозьненьне ад складаньня, калі складаюцца толькі адпаведныя разрады (адзінкі з адзінкамі, дзясяткі зь дзясяткамі і г.д.), пры множаньні кожны разрад памнажаецца з кожным. Напрыклад,
26 × 75 = (20 + 6) × (70 + 5) = 20 × 70 + 20 × 5 + 6 × 70 + 6 × 5 = 2 × 7 × 100 + 2 × 5 × 10 + 6 × 7 × 10 + 6 × 5 = 780
Для зручнасьці пры ручным множаньні множнікі запісваюць у слупок, адзін пад адным, і множаць іх паводле наступнага альгарытму:
Напрыклад,
× | 6 | 3 | 7 | ||
2 | 9 | 5 | |||
3 | 1 | 8 | 5 | ||
5 | 7 | 3 | 3 | ||
1 | 2 | 7 | 4 | ||
1 | 8 | 7 | 9 | 1 | 5 |
Множаньне цэлых лікаў зводзіцца да множаньня натуральных лікаў — абсалютных велічынь гэтых лікаў, а знак здабытку вызначаецца знакамі множнікаў. Здабытак бярэцца са знакам «плюс», калі абодва множнікі станоўчыя або адмоўныя, са знакам «мінус», калі множнікі маюць розныя знакі.
Вынікам множаньня любога ліку на нуль зьяўляецца нуль.
Для таго, каб памножыць рацыянальны лік на рацыянальны лік трэба памножыць лічнік і назоўнік дробу. Лічнік зжабытку зьяўляецца здабыткам лічнікащ, назоўнік — здабыткам назоўніку. Па магчымасьці праводзяцца скарачэньні.
Кожны ірацыянальны лік можна ўявіць як мяжу пэўнай рацыянальнай пасьлядоўнасьці.
Калі ірацыянальны лік , а , то
Множаньне камплексных лікаў вызначаецца па формуле
або, у іншай форме запісу,
Для вэктараў існуе некалькі тыпаў множаньня. У прыватнасьці, вэктар можна памножыць на рэчаісны лік. Пры гэтым зьмяняецца яго даўжыня, і, пры множаньні на адмоўны лік, кірунак (на супрацьлеглы).
Існуюць розныя тыпы здабыткаў двух вэктараў: скалярны здабытак і вэктарны здабытак, тэнзарны здабытак.
Матрыцы можна памножыць паміж сабой, калі колькасьць слупкоў ў першай зь іх супадае з колькасьцю радкоў ў другой. Вынікам множаньня зьяўляецца матрыца з колькасьцю радкоў, роўнай колькасьці радкоў у першым множніку, і колькасьцю слупкоў, роўнай колькасьці слупкоў ў другім множніку. Гэта значыць, пры памнажэньнях матрыцы m × n на матрыцу n × k утвараецца матрыца m × k. Элемэнты матрыцы здабытку вызначаюцца па формуле
Множаньне матрыц ня мае ўласьцівасьці камутатыўнасьці. У агульным выпадку .
Матрыцу можна памножыць на лік, пры гэтым кожны элемэнт матрыцы памнажаецца на гэта лік.
Здабыткам двух апэратараў завецца іх пасьлядоўнае застасаваньне. Пры дзеяньні апэратара A на аб’ект f утвараецца аб’ект Af. Калі падзейнічаць зараз на яго апэратарам B, то ўтворыцца новы аб’ект, які можна трактаваць як утвораны з зыходнага аб’екту f дзеяньнем апэратара BA.
Множаньне апэратараў у агульным выпадку не камутатыўнае.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.