From Wikipedia, the free encyclopedia
Натура́ль һандар (лат. naturalis теленән — тәбиғи; тәбиғи һандар) — иҫәпләгәндә, тәбиғи рәүештә килеп сыҡҡан һандар (мәҫәлән, 1, 2, 3). Үҫә барыу тәртибендә яҙылған бөтә натураль һандар эҙмә-эҙлелеге натураль рәт тип атала. Натураль һандарға билдәләмә биреүгә ике төрлө ҡараш бар:
Беренсе осраҡта натураль һандар рәте берҙән башлана, икенсе осраҡта — нулдән. Күпселек математиктар араһында беренсе йәки икенсе ҡараштың өҫтөнлөгө тураһында берҙәм фекер юҡ (йәғни нулде натураль һан тип иҫәпләргәме, юҡмы). Рәсәй сығанаҡтарының күбеһендә традиция булараҡ беренсе ҡараш ҡабул ителгән[1]. Икенсе ҡараш, мәҫәлән, Николя Бурбаки хеҙмәттәрендә ҡулланыла, унда натураль һандарға сикле күмәклектең ҡеүәте тип билдәләмә бирелә. Тиҫкәре һәм бөтөн булмаған (рациональ, ысын, …) һандар натураль һандарға инмәйҙәр. Бөтә натураль һандар күмәклеген символы менән тамғалау ҡабул ителгән (лат. naturalis — тәбиғи һүҙенән). Натураль һандар күмәклеге сикһеҙ, сөнки теләһә ниндәй натураль һаны өсөн -дан ҙурыраҡ натураль һан табыла. Нулдең булыуы натураль һандар арифметикаһының күп теоремаларын аныҡ итеп әйтеүҙе һәм иҫбатлауҙы еңеләйтә. Шуға күрә натураль һандарға беренсе ҡараш ҡулланғанда, нулде индереүсе натураль рәтте киңәйтеү тигән файҙалы төшөнсә индерелә. Киңәйтелгән рәт[1] йәки тип тамғалана.
күмәклеге натураль һандар күмәклеге тип атала, әгәр күмәклегенә ингән ниндәйҙер элемент 1 (бер) () бирелһә, һәм билдәләнеү өлкәһе һәм ҡиммәттәр өлкәһе булған функция (артынса килеү функцияһы; ) түбәндәге шарттар үтәлерлек итеп билдәләнһә:
Һанап кителгән аксиомалар беҙҙең натураль һандар рәте һәм һанлы һыҙыҡ тураһындағы интуитив күҙаллауҙы сағылдыра. Асылда был аксиомалар натураль һандарҙы аныҡ билдәләйҙәр, был принципиаль факт булып тора (Пеано аксиомалар системаһының ҡәтғилеге). Атап әйткәндә, иҫбатларға мөмкин (см.[2], шулай уҡ ҡыҫҡаса иҫбатланышы бирелгән[3]), әгәр һәм — Пеано аксиомалар системаһының ике моделе булһа, ул саҡта улар кәрәкле изоморфлы, йәғни шундай кире ҡайтмалы сағылдырыу бар (биекция), бында һәм бөтә өсөн . Шуға күрә сифатында натураль һандар күмәклегенең ниндәй ҙә булһа бер конкрет моделен билдәләп ҡуйыу етә.
Күмәклек теорияһына ярашлы, теләһә ниндәй математик системаларҙы төҙөүҙең берҙән-бер объекты булып күмәклек тора. Шулай итеп, натураль һандар ҙа, күмәклек төшөнсәһенән сығып, ике ҡағиҙә буйынса индерелә:
Шул рәүешле бирелгән һандар ординаль (эҙмә-эҙлекле, рәт) һандар тип аталалар. Бер нисә тәүге ординаль һанды һәм уларға ярашлы натураль һандарҙы һүрәтләйек:
Ҡайһы берҙә, бигерәк тә сит телдәге һәм тәржемәләнгән әҙәбиәттә, Пеаноның беренсе һәм өсөнсө аксиомаларында берҙе нуль менән алмаштыралар. Был осраҡта нуль натураль һан булып иҫәпләнә. Тиң ҡеүәтле күмәклектәр класы аша билдәләмә биргәндә нуль билдәләмә буйынса натураль һан була. Махсус рәүештә уны алып ташлау тәбиғи булмаҫ ине. Бынан тыш, был теорияны артабан төҙөүҙе һәм ҡулланыуҙы ҡатмарлаштырыр ине, сөнки күп конструкцияларҙа нуль, буш күмәклек кеүек үк, ниндәйҙер айырымланған түгел. Нулде натураль һан тип һанауҙың икенсе өҫтөнлөгө шунда, был осраҡта моноид була. Урыҫ әҙәбиәтендә ғәҙәттә нуль натураль һандар күмәклегенә индерелмәй (), ә нуль менән бергә натураль һандар күмәклеге тип тамғалана. Әгәр натураль һандарҙың билдәләмәһенә нуль индерелһә, натураль һандар күмәклеге тип яҙыла, ә нулһеҙ — тип яҙыла. Халыҡ-ара математик әҙәбиәттә, юғарыла әйтелгәнде иҫәпкә алып һәм төрлө мәғәнәлә аңлауҙан ҡасып, күмәклеген ғәҙәттә ыңғай бөтөн һандар күмәклеге тип атайҙар һәм тип тамғалайҙар. күмәклеген йыш ҡына тиҫкәре булмаған бөтөн һандар күмәклеге тип атайҙар һәм тип тамғалайҙар.
Сикһеҙ күмәклектең дәүмәле «күмәклектең ҡеүәте» тигән төшөнсә менән характерлана, ул төшөнсә сикле күмәклектең элементтары һанын сикһеҙ күмәклеккә дөйөмләштереү булып тора. Дәүмәле буйынса (йәғни ҡеүәте буйынса) натураль һандар күмәклеге теләһә ниндәй сикле күмәклектән ҙурыраҡ, ләкин теләһә ниндәй интервалдан кәмерәк, мәҫәлән, интервалынан. Натураль һандар күмәклеге ҡеүәте буйынса рациональ һандар күмәклеге кеүек. Натураль һандар күмәклеге кеүек үк ҡеүәтле күмәклектәр иҫәпле күмәклектәр тип аталалар. Шулай, теләһә ниндәй эҙмә-эҙлелектең быуындары һаны иҫәпле. Шул уҡ ваҡытта, һәр натураль һан сикһеҙ күп тапҡыр ингән эҙмә-эҙлелектәр бар, сөнки натураль һандар күмәклеген киҫешмәүсе иҫәпле күмәклектәрҙең иҫәпле берекмәһе итеп күҙ алдына килтереп була (мәҫәлән[4], ).
Натураль һандар өҫтөндә йомоҡ ғәмәлдәргә (һөҙөмтәне натураль һандар күмәклегенән сығармаусы ғәмәлдәргә) түбәндәге арифметик ғәмәлдәр инә:
Өҫтәп тағын ике ғәмәл ҡарайҙар (формаль күҙлектән ҡарағанда натураль һандар өҫтөндә ғәмәл түгел, сөнки бөтә һандар пары өсөн дә билдәләнмәгән (ҡайһы берҙә бар, ҡайһы берҙә юҡ)):
Ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре нигеҙ булып тороусы ғәмәлдәр икәнен билдәләп китер кәрәк. Атап әйткәндә, бөтөн һандар дүңгәләге тап ҡушыу һәм ҡабатлау бинар ғәмәлдәре аша билдәләнә.
Ҡушыу натураль һандар күмәклеген берәмеге булған ярым төркөмгә әйләндерә, берәмек ролен 0 башҡара. Шулай уҡ ҡабатлау натураль һандар күмәклеген берәмеге булған ярым төркөмгә әйләндерә, был осраҡта берәмек элемент булып 1 һаны тора. Ҡушыу-алыу һәм ҡабатлау-бүлеү ғәмәлдәренә ҡарата йомоу ярҙамында ярашлы рәүештә бөтөн һандар төркөмө һәм рациональ ыңғай һандар төркөмө барлыҡҡа килә.
Натураль һандарҙың сикле күмәклектәрҙең эквивалентлылыҡ класы билдәләмәһен файҙаланайыҡ. Әгәр A күмәклегенең биекциялар барлыҡҡа килтергән эквивалентлылыҡ класын квадрат йәйәләр менән тамғалаһаҡ: [A], төп арифметик ғәмәлдәр ошолай билдәләнә:
бында:
Был ғәмәлдәр дөрөҫ индерелгән, йәғни класс элементтарын һайлауға бәйле түгел, һәм индуктив билдәләмә менән тап килә икәнлеген иҫбат итергә мөмкин.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.