Һанлы рәт

Һандар рәте — һандар эҙмә-эҙлелеге, өлөшләтә суммалар (рәттәр) эҙмә-эҙлелеге тип аталған икенсе эҙмә-эҙлелек менән бергә ҡарала.

Ике төрҙәге һандар рәте ҡарала:

• математик анализда өйрәнелгән ысын һандар рәте;
• комплекслы анализда өйрәнелгән комплекслы һандар рәте.

Һандар рәтен өйрәнеүҙең төп мәсьәләһе — һандар рәтенең ҡушылыусанлығы.

Һандар рәте һандарға яғынайыу системаһы сифатында ҡулланылалар.

Рәт төшөнсәһенең дөйөмләштерелгән төшөнсәһе - икеләтә рәт төшөнсәһе.

Билдәләмә

${\displaystyle \{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — һандар эҙмә-эҙлелеге булһын, ти; был эҙмә-эҙлелек менән бер рәттән, һәр элементы ${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}.}$ күренешендәге өлөшләтә сумма тип аталған, бирелгән эҙмә-эҙлелектең тәүге k элементының суммаһы булған эҙмә-эҙлелекте ҡарайыҡ: ${\displaystyle \{s_{k}\}_{k=1}^{\infty },}$. Ошо ике эҙмә-эҙлелек берләшмәһе рәт тип атала. Рәтте тамғалау өсөн ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i},}$ символы ҡулланыла, сөнки бында рәттең тәүге элементтар эҙмә-эҙлелеге лә, сумманы табыу ҡағиҙәһе лә күрһәтелгән. Ошоға ярашлы һандар рәтенең ҡушылыусанлығы тураһында һүҙ алып барыла:

• Әгәр һандар рәтенең өлөшләтә суммалар эҙмә-эҙлелеге ҡушылһа, һандар рәте ҡушыла;
• Әгәр һандар рәтенең өлөшләтә суммалар эҙмә-эҙлелеге таралһа, һандар рәте тарала;
• Әгәр рәттең быуындарының модулдәре рәте ҡушылһа, һандар рәте абсолют ҡушыла.

Әгәр һандар рәте ҡушылһа, уның өлөшләтә суммалары эҙмә-эҙлелегенең сиге ${\displaystyle S}$ рәттең суммаһы тип атала:

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},}$

Рәттәр өҫтөндә ғәмәлдәр

Ҡушылыусан ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ һәм ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ рәттәре бирелһен, ти. Ул саҡта:

• Уларҙың суммаһы тип ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})}$ рәте атала.
• Коши буйынса уларҙың ҡабатландығы тип ${\displaystyle \sum c_{n}}$, где ${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}$ рәте атала.

Әгәр ике рәт тә ҡушылһа, уларҙың суммаһы ла ҡушыла. Әгәр ике рәт тә абсолют ҡушылһа, уларҙың суммаһы ла абсолют ҡушыла. Әгәр рәттәрҙең береһе булһа ла абсолют ҡушылһа, уларҙың ҡабатландығы ҡушыла.

Абсолют ҡушылыусанлыҡ критерийы

Ысын һандар рәте абсолют ҡушыла шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр ике рәт тә: уның ыңғай быуындарының рәте һәм тиҫкәре быуындарының рәте ҡушылһа.

Әҙәбиәт

• В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.

Ҡалып:Последовательности и ряды