Proyeición de Mercator

La proyeición de Mercator ye un tipu de proyeición cartográfica escurrida por Gerardus Mercator en 1569, pa ellaborar mapes de la superficie terrestre. Foi bien utilizada dende'l sieglu XVIII pa cartes náutiques porque dexaba trazar les rutes d'aldu constante o loxodrómiques como llinies rectes ya ininterrumpíes, a diferencia d'otres proyeiciones más precises.

Proyeición de Mercator
proyección cilíndrica (es) , conformal map projection (en) y inventu

Mapa de Mercator de 1569.

Comparanza, nuna proyeición Mercator del Atlánticu Norte, del aldu loxodromia (según puntos cardinales, llinia recta nel mapa) frente a la xeodésica (según un círculu máximu terrestre o distancia más curtia, curva nel mapa)

Ye un tipu de proyeición cilíndrica tanxente al Ecuador. Como tal, deforma les distancies ente los meridianos (na tierra son como "gayos" de polu a polu) en llinies paraleles, aumentando'l so anchu real cada vegada más a midida que avérase a los polos.

Esta proyeición tampoco respeta les distancies reales ente los paralelos, ampliar en llargu, cada vez más a midida que avérase a los polos, aburuyando les árees cercanes a los polos entá más. Nótese la diferencia cola proyeición cilíndrica equidistante, que sí respeta distancies ente paralelos y tien namái les deformaciones meridionales de la proyeición cilíndrica.

Matemática de la proyeición

Rellación ente la posición vertical nel mapa (horizontal nel gráficu) y llatitú (vertical nel gráficu).

Les siguientes ecuaciones determinen les coordenaes (x,y) d'un puntu nel mapa en proyeición Mercator a partir de la so llatitú φ y llargor λ (siendo λ0 el llargor central del mapa):

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln {\left[\tan {\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)}\right]}\\&={\frac {1}{2}}\ln {\left({\frac {1+\mathrm {sen} \,\phi }{1-\mathrm {sen} \,\phi }}\right)}\\&=\mathrm {senh} ^{-1}{(\tan {\phi })}\\&=\tanh ^{-1}{(\mathrm {sen} \,\phi )}\\&=\ln {(\tan {\phi }+\sec {\phi })}\end{aligned}}}$

Esta ye la inversa de la función de Gudermann:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi &=2\tan ^{-1}(y^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}\\\end{aligned}}}$

La escala ye proporcional a la secante de la llatitú φ, faciéndose desaxeradamente grande cerca de los polos. Nel polu mesmu φ = 90° o -90°. Como se deduz de les fórmules, el valor pa y nos polos ye +/- infinitu.

Derivación de la proyeición

Asumiendo que la Tierra tien forma esférica, (en realidá paezse más a un elipsoide llevemente esnacháu nos polos y con otres leves deformaciones, pero pa mapes de pequeña escala la diferencia ye irrelevante), búscase tresformar del sistema llargor-llatitú (λ,φ) al sistema cartesianu (x,y) que ye "un cilindru tanxente al ecuador" (p.e. x=λ) y conforme, tal que:

La proyeición Mercator ye una proyeición cilíndrica.

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\phi ){\frac {\partial y}{\partial \phi }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\phi ){\frac {\partial x}{\partial \phi }}}$

De x = λ tiense:

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1}$

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \phi }}=0}$

resultando

${\displaystyle 1=\cos(\phi ){\frac {\partial y}{\partial \phi }}}$

${\displaystyle 0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}}$

Yá que y ye función namái de φ con ${\displaystyle y'=\sec \phi }$ de la cual una tabla d'integrales danos

${\displaystyle y=\ln[\sec(\phi )+\tan(\phi )]+C\,}$.

Ye conveniente asignar φ = 0 a y = 0, colo cual la constante C anúlase, C = 0.

Discutiniu

Indicatriz de Tissot en proyeición Mercator.

Indicatriz de Tissot en proyeición sinusoidal.

Como en toa proyeición cartográfica, cuando s'intenta afaer una superficie curva nuna superficie plana, la forma del mapa ye una distorsión de la verdadera configuración de la superficie terrestre. La proyeición de Mercator va esaxerando'l tamañu de les tierres a midida que alloñámonos de la llinia del ecuador. Por ello, nos mapamundis Mercator:

• Groenlandia apaez aproximao del tamañu d'África, cuando en realidá l'área d'África ye aproximao 14 vegaes la de Groenlandia.

• Alaska apaez similar en tamañu a Brasil, cuando l'área de Brasil ye casi 5 vegaes más grande qu'Alaska.

Anque la proyeición de Mercator ye inda bien usada en navegación, los críticos argumenten que nun ye afecha pa representar el mundu completu por cuenta de la distorsión de les árees. El mesmu Mercator usó una proyeición equivalente (esto ye, que caltién la proporción ente árees) nos sos mapes rexonales non destinaos al navegación. Como resultáu d'estes crítiques, los atles modernos yá nun usen la proyeición de Mercator para mapamundis o rexones distantes del ecuador, prefiriendo otres proyeiciones cilíndriques, o proyeiciones equivalentes (equiáreas). La proyeición de Mercator, sicasí, ye usada inda pa rexones cercanes al ecuador.

Arno Peters provocó discutiniu cuando propunxo la proyeición conocida como proyeición de Gall-Peters, un leve cambéu de la cilíndrica equivalente de Lambert, como la alternativa a la de Mercator. Una resolución de 1989 de siete grupos xeográficos norteamericanos refugó l'usu de tolos mapamundis de coordenaes rectangulares (cilíndriques), incluyendo la Mercator y la Gall-Peters.^[1]

Usu actual na web

Les aplicaciones web de cartografía como Google Maps, OpenStreetMap o Bing Maps utilicen anguaño la proyeición de Mercator. Concretamente empleguen una variante que supón que la superficie del planeta ye esférica en cuenta de la forma exacta, elipsoidal, pa simplificar los cálculos. Los desarrolladores de Bing Maps xustificaron la eleición de la proyeición de Mercator por dos motivos. De primeres, como en toa proyeición cilíndrica, en cualquier puntu del planeta la direición norte-sur apaez siempres vertical y la este-oeste horizontal. De segundes, por ser una proyeición conforme, les formes de los edificios nun s'aburuyen, evitando qu'un edificiu cuadráu pueda apaecer rectangular como asocede n'otres proyeiciones. Estos dos virtúes compensaron, a güeyos de los autores d'estes aplicaciones, les significatives aburuyes d'escala qu'introduz la proyeición de Mercator, sobremanera nes rexones cerca de los polos.^[2]

Google Satellite Maps, per otru llau, usó una proyeición plate carrée hasta xunetu de 2005.

Nos mapes en Google Maps la máxima llatitú representada ye de +/- 85.0511287798066 graos.

Ver tamién

• Gerardus Mercator
• Proyeición xeográfica
• Sistema de Coordenaes Universal Tresversal de Mercator
• Cronoloxía de les proyeiciones cartográfiques
• Proyeición de Peters
• Mapa Dymaxion

Referencies

1. American Cartographer. 1989. 16(3): 222-223.
2. Joe Schwartz. «Bing Maps Tile System» (inglés). Consultáu'l 6 de marzu de 2014.

Enllaces esternos

• Xeodésicu a Proyeición de Mercator convertidor Archiváu 2017-09-11 en Wayback Machine
• Proyeición de Mercator a Xeodésicu convertidor Archiváu 2017-09-10 en Wayback Machine
• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Proyeición de Mercator.