Logaritmu

N'analís matemáticu, usualmente, el llogaritmu^[1] d'un númberu real positivu —nuna base de llogaritmu determinada— ye'l esponente al cual hai qu'alzar la base pa llograr dichu númberu. Por casu, el llogaritmu de 1000 en base 10 ye 3, porque 1000 ye igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.

Nun confundir con Algoritmu.

Logaritmu
tipu de función matemática
función multivaluada (es) , función trascendente (es) y operación binaria

De la mesma manera que la operación opuesta de la suma ye la resta y la de la multiplicación la división, el cálculu de llogaritmos ye la operación inversa a la exponenciación de la base del llogaritmu.

Pa representar la operación de llogaritmu nuna determinada base escríbese l'abreviatura log y como subíndice la base y dempués el númberu resultante del que deseyamos topar el llogaritmu. Por casu, 3⁵=243 depués log₃243=5. Cuando se sobrentiende la base, puede omitise.

Los llogaritmos fueron introducíos por John Napier a principios del sieglu XVII como un mediu de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptaos por científicos, inxenieros, banqueros y otros pa realizar operaciones fácil y rápido, usando regles de cálculu y tables de llogaritmos. Estos dispositivos basar nel fechu más importante — por identidaes logarítmiques — que'l llogaritmu d'un productu ye la suma de los llogaritmos de los factores:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,}$

La noción actual de los llogaritmos vien de Leonhard Euler, quien conectó estos cola función esponencial nel sieglu XVIII.

Definiciones

Si los númberos a y b son positivos, b la base distinta a 1 y a 0. va dicise que'l llogaritmu d'a na base b ye h si cumplir que

${\displaystyle b^{h}=a}$, y se denota ${\displaystyle log_{b}=h}$

• Llogaritmu puede ser definíu de diverses maneres: como esponente, cuando se conocen la base d'una potencia y el valor d'esta; tal el casu si :${\displaystyle 2^{x}={\frac {1}{16}}}$, como ${\displaystyle \scriptstyle x=-4}$ resuelve la ecuación, dizse que -4 ye'l llogaritmu de 1/16 en base 2. O bien

${\displaystyle \log _{2}{\frac {1}{16}}=-4}$.^[2].

Esíxese que la base de llogaritmos seya un númberu positivu distintu de 1. Usualmente consideróse como base, 10: aniciando los llogaritmos decimales o vulgares. O bien la base, el númberu y: xenerando los llogaritmos naturales o neperianos.

• Como una función real de variable real. Concretamente, considerando que la función esponencial ye una función creciente y continuo de dominiu ℝ y codominio ℝ⁺, pos tien función inversa de dominiu ℝ⁺, y codominio ℝ, que tamién ye creciente y continua pa base mayor que 1.^[3]
• Por integral definida

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a}$

que se llee llogaritmu natural d'a, nesti casu la base de los llogaritmos ye'l númberu irracional trascendente y que ye la llende de

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

cuando n tiende a infinitu.^[4]

Dau un númberu real (argumentu x), la función llogaritmu asígna-y l'esponente n (o potencia) a la qu'un númberu fixu b (base) haber d'alzar pa llograr dichu argumentu. Ye la función inversa de b a la potencia n. Esta función escríbese como: n = log_b x, lo que dexa llograr n.^[5]

${\displaystyle \log _{b}x=n\quad \Leftrightarrow \ \quad x=b^{n}\,}$

(esto lléese como: llogaritmu en base b de x ye igual a n; si y namái si b eleváu a la n da por resultancia a x)

Por que la definición seya válida, non toles bases y númberos son posibles. La base b tien que ser positiva y distinta de 1, depués b> 0 y b ≠ 1, x tien que ser un númberu positivu x > 0 y n puede ser cualquier númberu real (n ∈ R).^[6]

Asina, na espresión 10² = 100, el llogaritmu de 100 en base 10 ye 2, y escríbese como log₁₀ 100 = 2.

Propiedaes xenerales

Los llogaritmos, independientemente de la base escoyida, cumplen una serie de propiedaes comunes que los caractericen. Asina, llogaritmu de la so base ye siempres 1; log_b b = 1 yá que b¹ = b. El llogaritmu de 1 ye cero (independientemente de la base); log_b 1=0 yá que b⁰ = 1.

Si'l númberu real a alcuéntrase dientro del intervalu 0 <  a < 1 entós log_b a da un valor negativu o se diz que ye un llogaritmu negativu. Rescampla, yá que si llogaritmu de 1 ye cero, entós valores reales menores qu'unu van ser negativos por ser la función logarítmica puramente creciente y que'l so imaxe d'una función percorríu ye (-∞, +∞). Tamién usando la identidá logarítmica log_b(x/y)=log_b x - log_b y; yá que a pertenez al intervalu 0 <  a < 1, el so inversu a^-1 va ser mayor qu'unu, colo que log_b(a)=log_b(1/a^-1) = log_b 1 - log_b(a^-1)= -log_b(a^-1).

Los númberos negativos nun tienen llogaritmu nel cuerpu de los reales R, yá que sía'l que quier l'esponente n, va tenese siempres que bⁿ va ser mayor que cero, bⁿ > 0; arriendes d'ello, nun hai nengún valor real de n que pueda satisfaer bⁿ = x cuando x seya menor que 0. Sicasí, esta torga puede salvase, ampliando'l dominiu de definición al cuerpu de los númberos complexos C, pudiendo calcular llogaritmos de númberos negativos usando'l llogaritmu complexu o recurriendo a la fórmula d'Euler.

Les potencies consecutives d'una base formen una progresión xeométrica y la de los esponentes una progresión aritmética. Por casu, les potencies de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y los sos esponentes van ser 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. yá que 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, y 2⁴ = 16, etc. depués log₂ 1 = 0, log₂ 2 = 1, log₂ 4 = 2, log₂ 8 = 3 y log₂ 16 = 4, etc.

Propiedaes alxebraiques

Artículu principal: Identidaes logarítmiques

Nesta parte destácase la capacidá operativa del usu de llogaritmos nel sentíu d'operaciones coligadas; por aciu llogaritmos, una operación convertir n'otra operación de menor nivel. Por casu, un productu de n factores amenorgar a una adición de n sumandos.Etc.

Verdaderamente, les siguientes proposiciones funcionen como identidaes pa los valores del so dominiu de definición. Sicasí, l'ésitu de la invención y usu de los llogaritmos, xustamente, anició en poder convertir productos en sumes; cocientes en restes; potencia en productu y raigañu de grau n nun cociente. Esti fechu dexa dicir que, nel so momentu, l'usu de llogaritmos produció un cambéu revolucionariu nos cálculos, emplegaos na astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales.^[7] Los llogaritmos caltienen ciertes identidaes aritmétiques bien útiles a la de realizar cálculos:

• El llogaritmu d'un productu ye igual a la suma de los llogaritmos de los factores.

${\displaystyle \!\,\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\,}$

• El llogaritmu d'un inversu multiplicativu ye l'inversu aditivu del llogaritmu:

${\displaystyle \log \left({\frac {1}{x}}\right)=-\log \left(x\right)={\text{colog }}(x)}$

• El llogaritmu d'un cociente ye igual al llogaritmu del numberador menos el llogaritmu del denominador.

${\displaystyle \!\,\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)\,}$

${\displaystyle \!\,\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)+{\text{colog }}(y)\,}$

• El llogaritmu d'una potencia ye igual al productu ente l'esponente y el llogaritmu de la base de la potencia.

${\displaystyle \!\,\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\,}$

• El llogaritmu d'un raigañu ye igual al productu ente la inversa del índiz y el llogaritmu del aniciando.

${\displaystyle \!\,\log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})={\frac {\log _{b}(x)}{y}}\,}$

En realidá la cuarta y quinta identidá son equivalentes, ensin más que faer:

${\displaystyle \!\,{\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}\,}$

Seleición y cambéu de base

Ente los llogaritmos más utilizaos alcuéntrase'l llogaritmu natural, que la so base ye e, base 10 (llogaritmu común), base 2 (llogaritmu binariu), o en base indefinida (llogaritmu indefiníu). La eleición d'un determináu númberu como base de los llogaritmos nun ye crucial, yá que toos son proporcionales ente sigo. Ye útil la siguiente fórmula que define al llogaritmu de x en base b (suponiendo que b, x, y k son númberos reales positivos y que tanto b como k son distintos de 1):

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}\,\!\,}$

na que k ye cualquier base válida. Si faemos k=x, vamos llograr:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {1}{\log _{x}(b)}}\,\!\,}$

Base potencia

${\displaystyle \log _{b^{n}}a={\frac {m}{n}}}$ si ${\displaystyle \log _{b}a=n}$ ${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$

^[8]

Por aciu desigualdaes

Variación de base Si ${\displaystyle 1<b<p}$, entós ${\displaystyle log_{b}a>log_{p}a}$, a menor base mayor llogaritmu. Exemplu ${\displaystyle log_{2}64>log_{4}64}$; pos 6 > 3

Otra variación de base Si ${\displaystyle 0<b<p<1}$, entós ${\displaystyle log_{b}a<log_{p}a}$, a menor base menor llogaritmu. Exemplu ${\displaystyle log_{0,5}16<log_{0,25}16}$; pos -4 < -2

Base fixa Si ${\displaystyle 1<b}$ y ${\displaystyle 0<h<k}$ , entós ${\displaystyle log_{b}h<log_{b}k}$, con base fixa:a mayor númberu, mayor llogaritmu. Exemplu ${\displaystyle log_{2}8<log_{2}32}$; pos 3 < 5

Otru casu de base fixa Si ${\displaystyle 0<b<1}$ y ${\displaystyle 0<h<k}$ , entós ${\displaystyle log_{b}h>log_{b}k}$, con base fixa:a mayor númberu, menor llogaritmu. Exemplu ${\displaystyle log_{0,5}8>log_{0,5}32}$; pos -3 < -5

^[9]

• Si a > 1 cumplir que log b + log_b10 ≥ 2. Sicasí si 0<b<1, cabo la desigualdá log b + log_b10 ≤ -2.^[10]

Emplegos

El llogaritmu más llargamente utilizáu ye'l natural, yá que tien ensame d'aplicaciones en física, matemátiques, inxeniería y en ciencies polo xeneral. Tamién ye bastante utilizáu'l llogaritmu decimal, que s'indica como ${\displaystyle \log(x)\,\!\,}$, en ciencies que faen usu de les matemátiques, como la química na midida de l'acidez (denomada pH) y en física en magnitúes como la midida de la lluminosidá (candela), d'intensidá de soníu (dB), de la enerxía d'un terremotu (escala sismolóxica de Richter), etc. N'informática usa'l llogaritmu en base 2 la mayoría de vegaes.

Propiedaes analítiques

Un estudiu más fondu de los llogaritmos rique'l conceutu de función. Un exemplu ye la función que produz la x-ésima potencia de b pa cualquier númberu real x, onde la base (o raigañu) b ye un númberu fixu. Esta función escríbese como

${\displaystyle f(x)=b^{x}\,}$

Función logarítmica

Pa garantizar la definición de llogaritmos, ye necesariu demostrar que pa la ecuación esponencial

${\displaystyle b^{x}=y\,}$

esiste una única solución x , asumiendo que ${\displaystyle y>0\ }$ y que b nun ye solución de la ecuación ${\displaystyle t^{2}-t=0}$. Una demostración d'esti fechu rique del teorema del valor entemediu del cálculu elemental.^[11] Esti teorema establez qu'una función continua que produz dos valores m y n tamién produz cualquier valor que s'atope ente m y n. Una función ye continua si esta nun salta», esto ye, si'l so gráficu puede ser escritu ensin llevantar el llapiceru del papel.

Esta propiedá puede demostrase que se cumple pa la función f(x) = b^x. Yá que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier númberu y > 0 que s'atopa ente f(x₀) y f(x₁) pa un fayadizu x₀ y x₁. Poro, el teorema del valor entemediu asegura que la ecuación f(x) = y tien una solución. Entá más, hai namái una solución pa esta ecuación, yá que la función f ye puramente creciente (pa b > 1), o puramente decreciente (pa 0 < b < 1).^[12]

La única solución x ye'l llogaritmu de y na base b, log_b(y). La función qu'asigna a cada y el so llogaritmu llámase función logaritmo o función logarítmica (o llogaritmu a seques).

Función inversa

Gráficu de la función logarítmica log_b(x) (azul) llograr por aciu reflexón del gráficu de la función b^x (colorada) sobre la llinia diagonal (x = y).

La fórmula pal llogaritmu d'una potencia diz en particular que pa cualquier númberu x, :${\displaystyle \log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}(b)=x.}$ En llinguaxe llanu, tomando la x-ésima potencia de b y depués el base-b llogaritmu vuelve llograse x. De manera contraria, dau un númberu positivu y, la fórmula :${\displaystyle b^{\log _{b}(y)}=y}$ diz que tomando primero'l llogaritmu y dempués exponenciando vuelve llograse y. Asina, los dos maneres posibles de combinar (o componer) llogaritmos y esponenciales vuelve dar el númberu orixinal. Poro, el llogaritmu en base b ye la función inversa de f(x) = b^x.^[13]

Les funciones inverses tán íntimamente rellacionaes coles funciones orixinales. Los sos Gráfica d'una función gráficos correspuéndense l'unu col otru por aciu l'intercambiu de les coordenaes x y y (o por reflexón sobre la llinia diagonal x = y), como s'amuesa na figura de la derecha: un puntu (t, o = b^t) sobre'l gráficu de f apurre un puntu (o, t = log_bo) sobre'l gráficu del llogaritmu y viceversa.

Crecedera o decrecimiento de la función

De resultes, log_b(x) tiende a + infinitu (faise más grande que cualquier númberu dau) si x avera a + infinitu, siempres que b seya mayor que 1. Nesi casu, log_b(x) ye un función creciente. Pa b < 1, log_b(x) tiende a menos infinitu en llugar d'a infinitu. Cuando x averar a cero, log_b(x) tiende a menos infinitu pa b > 1 (a más infinitu cuando b < 1, respeutivamente). Sía que non, y pa tou valor apropiáu de la base b, la gráfica de la función logarítmica curtia a la exa de les ascises nel puntu (1,0).

Derivada ya integral indefinida

El gráficu del llogaritmu natural (verde) y la so tanxente en x = 1.5 (negru)

Les propiedaes analítiques de les funciones pasen a les sos inverses.^[11] Asina, como f(x) = b^x ye una función continua y diferenciable, tamién lo será log_b(y). Toscamente falando, una función continua ye diferenciable si'l so gráficu nun tien «trazos apuntiaos». Entá más, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)b^x poles propiedaes de la función esponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de log_b(x) ye dada por^[12][14]

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.}$

Esto ye, la pendiente de la tanxente que toca'l gráficu del llogaritmu en base-b nel puntu (x, log_b(x)) ye igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) ye 1/x, lo qu'implica que la integral indefinida de 1/x ye ln(x) + C.La derivada con un argumentu funcional xeneralizáu f(x) ye

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$

El cociente del miembru derechu ye denomináu derivada logarítmica de f. Calcular f'(x) per mediu de la derivada de ln(f(x)) conozse como diferenciación logarítmica.^[15] La integral indefinida del llogaritmu natural ln(x) ye:^[16]

${\displaystyle \int \ln(x)\,{\text{d}}x=x\ln(x)-x+C.}$

Fórmules rellacionaes, tales como integrales indefiníes de llogaritmos n'otres bases pueden ser llograes d'esta ecuación usando'l cambéu de bases.^[17]

Representación integral del llogaritmu natural

El llogaritmu natural de t ye l'área avisiega sol gráficu de la función f(x) = 1/x (inversa de x).

Artículu principal: Llogaritmu natural

El llogaritmu natural de t concuerda cola integral de 1/x dx dende 1 a t:

${\displaystyle \ln(t)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

N'otres pallabres, ln(t) ye igual al área ente la exa x y el gráficu de la función 1/x, percorríu dende x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto ye una consecuencia del teorema fundamental del cálculu y del fechu de que la derivada de ln(x) seya 1/x. El miembru de la derecha d'esta ecuación puede sirvir con una definición pal llogaritmu natural. Les fórmules del productu y potencies de llogaritmu pueden ser llograes d'esta definición.^[18] Por casu, la fórmula del productu ln(el to) = ln(t) + ln(o) deduzse como:

${\displaystyle \ln(elto)=\int _{1}^{elto}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{elto}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{o}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(o).}$

La igualdá (1) descompon la integral en dos partes, ente que la igualdá (2) ye un cambéu de variable (w = x/t). Na ilustración de baxo, la descomposición correspuende a estremar l'área nes partes azul y mariella. Reescalando l'área azul de la izquierda verticalmente por aciu el factor t y contrayendo esta pol mesmu factor horizontalmente nun se camuda'l so tamañu. Moviéndola apropiadamente, l'área de la gráfica afacer a la función f(x) = 1/x de nuevu. Poro, l'área azul del términu esquierdu, que ye la integral de f(x) dende t a el to ye la mesma que la de la integral dende 1 a o. Esto xustifica la igualdá (2) con otra demostración xeométrica más.

Una demostración visual de la fórmula del productu del llogaritmu natural.

La fórmula de la potencia ln(t^r) = r ln(t) puede ser llograda de manera similar:

${\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).}$

La segunda igualdá usa los cambeos de variable (integración per sustitución), w := x^1/r.

La suma sobre los inversos de los númberos naturales, :${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$ ye llamada serie harmónica. Ta estrechamente venceyada al llogaritmu natural: cuando n tiende a infinitu, la diferencia, :${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$ converxi (i.e., avérase arbitrariamente cerca) a un númberu conocíu como constante d'Euler-Mascheroni. Esta rellación ayuda a analizar el rendimientu d'algoritmos, como quicksort.^[19]

Trescendencia del llogaritmu

El llogaritmu ye un exemplu de función trascendente y dende un puntu de vista teóricu, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que los llogaritmos suelen tomar valores «difíciles» . La declaración formal basar na noción de númberos alxebraicos, qu'inclúi a tolos númberos racionales, pero tamién númberos tales como'l raigañu cuadráu de 2 o :${\displaystyle {\sqrt {-5+{\sqrt[{3}]{3/13}}}}.}$ Númberos complexos que nun son alxebraicos son llamaos trescendentes;^[20] por casu, π y y son dos d'esos númberos. Casi tolos númberos complexos son trascendentes. Usando estes nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que daos dos númberos alxebraicos a y b, log_b(a) ye, o un númberu trascendente, o un númberu racional p / q (y nesi casu a^q = b^p, de manera que, de mano, a y b taben estrechamente rellacionaos).^[21]

Cálculu

Los llogaritmos son fáciles de calcular en dellos casos, tales como log₁₀(1,000) = 3. Polo xeneral, los llogaritmos pueden ser calculaos usando series de potencies o la media aritméticu-xeométrica, o ser llograos d'una tabla de llogaritmos precalculada qu'apurre una precisión fita.^[22][23] El métodu de Newton, un métodu iterativu pa resolver ecuaciones aproximao, pue ser usáu tamién pa calcular el llogaritmu, porque la so función inversa, la función esponencial, pue ser calculada eficientemente.^[24] Usando tables de referencies, métodos como CORDIC pueden ser usaos pa calcular logaritmo si la úniques operaciones disponibles son la adición y el desplazamientu de bits.^[25][26] Entá más, l'algoritmu del llogaritmu binariu calcula lb(x) recursivamente basáu na repetición cuadrática de x, aprovechando la rellación

${\displaystyle \log _{2}(x^{2})=2\log _{2}(x).\,}$

Serie de potencies

Serie de Taylor

Serie de Taylor de  ln(z) at z = 1. L'animación amuesa les primeres  10 aproximamientos xunto colos aproximamientos 99 y 100.

Pa cualquier númberu real z que satisfaiga 0 < z < 2, la siguiente serie de potencies cumplir:^{[nb 1][27]}

${\displaystyle \ln(z)=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots }$

Esta ye una manera rápida de dicir que ln(z) pue ser averáu a un valor más y más precisu por aciu les siguientes espresiones:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}(z-1)&&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{\frac {(z-1)^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}}$

Por casu, con z = 1.5 el tercer aproximamientu llogra 0.4167, que ye alredor de 0.011 mayor que ln(1.5) = 0.405465. Esta serie avera ln(z) con precisión arbitraria, siempres que'l númberu de sumandos seya lo suficientemente grande. En cálculu elemental, ln(z) ye por tanto, el llende de la serie. Esta ye la serie de Taylor del llogaritmu natural en z = 1. La serie de Taylor de ln z apurre un particular aproximamientu útil de ln(1+z) cuando z ye pequeñu, |z| << 1, yá que

${\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots \approx z.}$

Por casu, con z = 0.1 el primer orde d'aproximamientu da ln(1.1) ≈ 0.1, que ye menor del 5% del valor correutu 0.0953.

Series más eficientes

Otra serie ta basada na función argumentu de tanxente hiperbólica:

${\displaystyle \ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),}$

pa cualquier númberu real z > 0.^{[nb 2][27]} Usando la notación sumatorio esta tamién puede ser escrita como :${\displaystyle \ln(z)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2n+1}.}$ Esta serie puede llograse de la serie de Taylor anterior. Converxe más rápidu que la serie de Taylor, especialmente si z ye cercanu a 1. Por casu, pa z = 1.5, los trés primeros términos de la segunda serie averen ln(1.5) con un error de la redolada de 3×10⁻⁶. La rápida converxencia pa z cercanu a 1 pue ser tomada como una ventaya de la siguiente manera.: da un aproximamientu de baxa exactitú y ≈ ln(z) y calculando

${\displaystyle A={\frac {z}{\exp(y)}},\,}$

el llogaritmu de z ye:

${\displaystyle \ln(z)=y+\ln(A).\,}$

Cuando meyor ye l'aproximamientu inicial y, más cerca ta A de 1, asina que'l so llogaritmu puede ser calculáu eficientemente. A puede ser calculáu usando la serie esponencial, que converxe rápido siempres que y nun seya demasiáu grande. Calculando'l llogaritmu d'un z mayor, pue ser amenorgáu a valores más pequeños que z por aciu la escritura z = a · 10^b, asina que ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Un métodu íntimamente rellacionáu pue ser utilizáu pa calcular el llogaritmu d'enteros. De la serie anterior, deduzse que:

${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.}$

Si'l llogaritmu d'un enteru grande n ye conocíu, entós esta serie llogra una rápida serie converxente pa log(n+1).

Aproximamientu por aciu media aritméticu-xeométrica

La media aritméticu-xeométrica da aproximamientos con gran precisión del llogaritmu natural. ln(x) ye averáu con una precisión de 2^−p (o p bits precisos) por aciu la siguiente fórmula (dada por Carl Friedrich Gauss):^[28][29]

${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}}-m\ln(2).}$

Equí M denota la media aritméticu-xeométrica. Puede llograse por aciu el cálculu repitíu de la media (media aritmética) y del raigañu cuadráu del productu de dos númberos (media xeométrica). Entá más, m ye escoyíu tal que

${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$

Dambes, media aritméticu-xeométrica y les constantes π y ln(2) pueden ser calculaes por aciu series converxentes bien rápides.

Estensiones

Ye posible estender el conceutu de llogaritmu más allá de los reales positivos.

Númberos reales

Para enteros b y x, el númberu ${\displaystyle \log _{b}(x)\,}$ ye irracional (nun puede representase como'l cociente de dos enteros) si b o x tienen un factor primu que l'otru nun tien.

El llogaritmu natural d'un númberu real positivu ta bien definíu y ye un númberu real. Sicasí, xeneralizar el llogaritmu natural a númberos reales negativos solo puede faese introduciendo númberos complexos.

Sicasí, al igual qu'asocede'l llogaritmu de númberos complexos la eleición de llogaritmu d'un númberu negativu nun ye única, anque la eleición fecha ye la más frecuentemente usada pa estender el llogaritmu a númberos reales negativos.

Númberos complexos

Artículu principal: Llogaritmu complexu

Principal caña del llogaritmu complexu, Log(z).

El llogaritmu natural d'un númberu complexu z ye otru númberu complexu b = ln(z) que seya solución de la ecuación:

(*)${\displaystyle z=y^{b}\;\,}$

La ecuación anterior nun tien solución única. Ello ye que tien un númberu infinitu de soluciones, anque toes elles son fáciles d'atopar. Dau un númberu complexu z escritu en forma polar, una solución posible de la ecuación (*) ye b₀:

${\displaystyle b_{0}=\ln \rho +i\theta \qquad {\mbox{con}}\ z=\rho y^{i\theta }\,}$

Puede comprobase qu'esta nun ye la única solución, sinón que pa cualquier valor ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,}$ resulta que'l númberu complexu b_k, definíu de siguío, tamién ye solución:

${\displaystyle b_{k}=\ln \rho +i\theta +2\pi ki\qquad \Rightarrow y^{b_{k}}=\rho y^{i\theta }\cdot y^{2\pi ki}=z\,}$

De fechu cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

Llogaritmu en base imaxinaria

Artículu principal: Llogaritmu en base imaxinaria

Un llogaritmu en base imaxinaria ye un llogaritmu que tien como base i (la unidá imaxinaria). Esti tipu de llogaritmos puede resolvese fácilmente cola fórmula:

${\displaystyle \log _{i}(z)={{2\ln(z)} \over i\pi }.\,}$

Ónde z ye cualesquier númberu complexu sacante 0. Sicasí, hai de solliñar que la fórmula anterior solo ye una de les posibles soluciones yá que la ecuación:

${\displaystyle i^{\lambda }=z\,}$

almite non solo la solución dada enantes sinón que cualesquier x de la forma:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{i\pi }}\ln(z)+4k=\log _{i}(z)+4k,\qquad k\in \mathbb {Z} \,}$

tamién ye solución.

Matrices

Artículu principal: Llogaritmu d'una matriz

Una matriz B ye llogaritmu d'una matriz dada A si la exponenciación de B ye A:

${\displaystyle y^{B}=A\,}$

A diferencia de la exponenciación de matrices, el llogaritmu d'una matriz real puede nun tar definíu siempres. Nel casu d'una matriz diagonalizable ye necesariu que llogaritmu tea definíu pa toos y cada unu de los autovalores o valores propios de la matriz. Nesi casu'l llogaritmu de la matriz ta definíu y ye llogaritmu d'una matriz con autovalores positivos ye otra matriz real. Si'l 0 ye un autovalor de la matriz, entós el so llogaritmu nun ta definíu.

Si'l llogaritmu ta definíu sobre'l espectru o conxuntu de autovalores y estos inclúin dalgún númberu negativu, aun así ye posible definir una matriz llogaritmu (en forma similar a como se definen los llogaritmos de númberos negativos o complexos), anque nun resulta única.

Nel casu d'una matriz non diagonalizable, esti procesu ye más complicáu, yá que rique atopar primero'l so forma canónica de Jordan.

Llogaritmu discretu

Artículu principal: Llogaritmu discretu

Los llogaritmos discretos son los análogos en teoría de grupos de los llogaritmos ordinarios. En particular, un llogaritmu ordinariu log_a(b) ye una solución de la ecuación a^x = b sobre númberos reales o númberos complexos. De manera similar, si g y h son elementos d'un grupu cíclicu finito G, entós una solución x de la ecuación g^x = h ye llamada llogaritmu discretu na base g de h nel grupu G.

Si (G,·) ye un grupu cíclicu finito d'orde n, onde · ye l'operador multiplicación, si escueye un Conxuntu xenerador d'un grupu xenerador g de G, entós cada elementu h de G puede ser escritu como h = g^k pa dalgún enteru k, de manera que la función

${\displaystyle \operatorname {log} _{g}:G\rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

asigna a cada h la clase d'equivalencia módulo n de k, esto ye, tolos k que cumplan que h ≡ g^k mod n.

Esti llogaritmu tien aplicaciones en criptografía, cuantimás nel métodu d'intercambiu de claves de Diffie-Hellman o nel sistema de ElGamal.

Historia

John Napier (Neper), foi'l primeru que definió y desenvolvió los llogaritmos.

El métodu de cálculu por aciu llogaritmos foi propuestu per primer vegada, públicamente, por John Napier (llatinizáu Neperus) en 1614, nel so llibru tituláu Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemáticu y reloxeru suizu al serviciu del duque de Hesse-Kassel, concibió per primer vegada los llogaritmos; sicasí, publicó'l so descubrimientu cuatro años dempués que Napier. La inicial resistencia al usu de llogaritmos foi camudada por Kepler, pol entusiasta sofitu de la so publicación y l'impecable y clara esplicación de cómo funcionaben.

Esti métodu contribuyó a la meyora de la ciencia, y especialmente de l'astronomía, facilitando la resolución de cálculos bien complexos. Los llogaritmos fueron utilizaos davezu en xeodesia, navegación marítima y otres cañes de la matemática aplicada, enantes de la llegada de les calculadores y ordenadores. Amás de la utilidá nel cálculu, los llogaritmos tamién ocuparon un importante llugar nes matemátiques más avanzaes; el llogaritmu natural presenta una solución pal problema de la cuadradura d'un sector hiperbólicu escurríu por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier nun usó una base tal como agora entiéndese pero, los sos llogaritmos, como factor d'escala, funcionaben de manera eficaz con base 1/y. Pa los propósitos de interpolación y facilidá de cálculu, yeren útiles pa topar la rellación r nuna serie xeométrica tendente a 1. Napier escoyó r = 1 - 10⁻⁷ = 0,999999 (Bürgi escoyó r = 1 + 10⁻⁴ = 1,0001). Los llogaritmos orixinales de Napier nun teníen log 1 = 0, sinón log 10⁷ = 0. Asina, si N ye un númberu y L ye'l llogaritmu, Napier calcula: N = 10⁷(1 − 10⁻⁷)^L. Onde (1 − 10⁻⁷)^10⁷ ye aproximao 1/y, faciendo L/10⁷ equivalente a log_1/y N/10⁷. Vease llogaritmu neperianu.

Primeramente, Napier llamó «númberos artificiales» a los llogaritmos y «númberos naturales» a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la pallabra llogaritmu nel sentíu d'un númberu qu'indica una proporción: λόγος (logos) el sentíu de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significáu númberu, y defínese, lliteralmente, como «un númberu qu'indica una rellación o proporción». Referir a la proposición que foi fecha por Napier na so «teorema fundamental», qu'establez que la diferencia de dos llogaritmos determina la rellación de los númberos a los cualos correspuenden, de manera que una progresión aritmética de llogaritmos correspuende a una progresión xeométrica de númberos. El términu antilogaritmu foi introducíu a finales de sieglu xvii y, anque nunca s'utilizó llargamente en matemátiques, perduró en munches tables, hasta que cayó en desusu.

Aplicaciones

Tanto los llogaritmos naturales, como los llogaritmos en base 10 son ferramientes imprescindibles na midida de les magnitúes que les sos midíes son bien grandes. Por casu, los terremotos tienen que ser midíos con llogaritmos dau a la so amplia enerxía desprendida; la cual provoca tales catástrofes. Pa midir la magnitú de los terremotos, creóse la Escala de Richter, que establez unos determinaos valores según la cantidá d'enerxía que lliberen, esto ye, midiendo l'amplitú de les ondes sísmiques en superficie. Richter definió la magnitú(M), utilizando'l llogaritmu por aciu la siguiente fórmula:

M = logA + C

Tamién pueden usase los llogaritmos pa midir la intensidá del rellumu de les estrelles. Por casu Siriu, que ye la estrella más brillosa, tien una magnitú de -1,6. Sicasí, la estrella polar, relluma con una magnitú de 2,1. Esto significa que Siriu, vistu dende la Tierra, relluma unes 30 vegaes más aproximao.

Vixencia

El conceutu de llogaritmu caltiénse vixente pol so venceyu cola integral definida so una hiperbólica xy = 1; na solución d'ecuaciones esponenciales y logarítmiques, na simplificación de derivaes y pol so trezu a y^[30]

Ecuaciones logarítmiques

Llámase ecuación logarítmica aquella cola incógnita sol signu de llogaritmu.

Exemplos:

${\displaystyle \lg(x+3)-{\frac {1}{2}}\lg(2x-3)=2-\lg 25}$ onde lg significa llogaritmu en base 10.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\lg x=\lg {\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \log _{2}(9^{x-1}+7)=2\log _{2}(3^{x-1}+1)}$

Casos resueltos

Ver tamién

• Identidaes logarítmiques
• Cologaritmo
• Llogaritmu binariu
• Llogaritmu natural
• Llogaritmu neperianu
• Llogaritmu decimal
• Llogaritmu complexu
• Llogaritmu en base imaxinaria
• Llogaritmu iterado
• Llogaritmu discretu
• Llogaritmu d'una matriz
• Función esponencial La función inversa del llogaritmu.
• Neper
• pH
• Decibeliu (dB) unidá logarítmica pa espresar la rellación ente dos magnitud, acústiques o llétriques.
• Escala logarítmica

Notes

1. La mesma serie cumplir pal valor principal del llogaritmu complexu pa númberos complexos z que satisfaen que |z − 1| < 1.
2. La mesma serie cumplir pal valor principal del llogaritmu complexu pa númberos complexos z con parte real positiva.

Referencies

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2. G. M. Cirgüeyu. Elementos d'álxebra. Madrid
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10. Puede comprobar por aciu una calculadora
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Bibliografía

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• Marcos, C.; Martínez, J.. Matemátiques.
• González Aguilar. Matemátiques.
• Chávez Reis, Carmen; Llión Quintanar, Adriana. La Biblia de les Matemátiques.

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Logaritmu.
• Weisstein, Eric W. «Logarithm» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Historia de los llogaritmos por Francisco Javier Tapia Moreno (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).
• Proyeutu MaTeX: Llogaritmos (formatu PDF, 58 páxines). Archiváu 2015-11-23 en Wayback Machine

• Datos: Q11197
• Multimedia: Logarithm