Númberu irracional

En matemátiques, un númberu irracional ye un númberu que nun puede ser espresáu como una fracción m⁄n, onde m y n sían enteros y n sía distintu de cero.^[1] Ye cualesquier númberu real que nun ye racional, y la so espresión decimal nun ye nin exacta nin periódica.^[1]

Númberu irracional
tipu de númberu
número con representación decimal infinita (es) y númberu real

Un decimal infinitu (esto ye, con infinites cifres) aperiódico, como Plantía:Raigañu = 2,645751311064591 nun puede representar un númberu racional. A tales númberos nómase-yos "númberos reales o irracionales". Esta denominación significa la imposibilidá de representar dichu númberu como razón de dos númberos enteros.^[2] El númberu pi (${\displaystyle \pi }$), númberu e y el númberu áureo (${\displaystyle \phi }$) son otros exemplos de númberos irracionales.^[1]

Historia

Yá que na práutica de midir el llargor d'un segmentu de recta solo puede producir como resultáu un númberu fraccionariu, nun entamu, los griegos identificaron los númberos colos llargores de los segmentos de recta.^[3] Al identificar de la manera mentada, surde la necesidá de considerar una clase de númberos más amplia que la de los númberos fraccionarios. Atribuyir a Pitágores de Samos (580- 500a. C.) y la so escuela'l descubrimientu de la esistencia de segmentos de recta inconmensurables con al respective de un segmentu que se toma como unidá nun sistema de midida. Pos, esisten segmentos de recta que la so llargor midíu nesti sistema nun ye un númberu fraccionariu.^[3]

Por casu, nun cuadráu, la diagonal d'este ye inconmensurable con al respective de los sos llaos. Esti fechu causó una convulsión nel mundu científicu antiguu. Provocó una rotura ente la xeometría y l'aritmética d'aquella dómina, una y bones esta postrera, daquella, sofitar na teoría de la proporcionalidad, que solo aplicar a magnitúes conmensurables.

Intentaron salvar la torga estremando ente'l conceutu de númberu y el de llargor d'un segmentu de recta, y tomaron estos postreros como elementos básicos pa los sos cálculos. De tal manera, a los segmentos inconmensurables con al respective de la unidá tomada como patrón de midida asignáron-yos un nuevu tipu de magnitú: los númberos irracionales, que por llargu tiempu nun se reconocieron como verdaderos númberos.^[3]

Notación

Nun esiste una notación universal pa indicalos, como ${\displaystyle \mathbb {I} }$, que ye xeneralmente aceptada. Les razones son que'l conxuntu de Númberos Irracionales nun constitúin dalguna estructura alxebraica, como sí lo son los naturales (${\displaystyle \mathbb {N} }$), los enteros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), los racionales (${\displaystyle \mathbb {Q} }$), los reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$) y los complexos (${\displaystyle \mathbb {C} }$), per un sitiu, y que la ${\displaystyle \mathbb {I} }$ ye tan apoderada pa designar al conxuntu de Númberos Irracionales como al conxuntu de Númberos Imaxinarios Puros, lo cual puede crear tracamundiu. Fora d'ello,

${\displaystyle \mathbb {I}$ :=\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {R} |x\notin \mathbb {Q} \}}

Clasificación

N'estremando los númberos componentes de la recta real en tres categoríes (non escluyentes): (naturales, enteros y racionales), podría paecer que terminó la clasificación de los númberos, pero entá queden "buecos" por rellenar na recta de los númberos reales. Los númberos irracionales son los elementos de felicidá recta que cubren los vacíos que dexen los númberos racionales. Tien De notase qu'equí se ta entendiendo como "recta real" el conxuntu de les clases d'equivalencia de socesiones de Cauchy de númberos racionales. Puede demostrase que la llende d'una socesión llende de delles d'eses socesiones (de fechu la mayor parte d'elles), nun ye un númberu racional, polo que si non se consideraren racionales esistiríen "buecos" nel conxuntu de llendes.

Los númberos irracionales son los elementos de la recta real que nun pueden espresase por aciu el cociente de dos enteros y caracterícense por tener infinites cifres decimales aperiódicas. D'esta miente, puede definise al númberu irracional como una fracción decimal aperiódica infinita.^[4] Polo xeneral, toa espresión en númberos decimales ye solo un aproximamientu en númberos racionales al númberu irracional referíu, por casu, el númberu racional 1,4142135 ye solo un aproximamientu a 7 cifres decimales del númberu irracional raigañu cuadráu de 2, que tien infinites cifres decimales non periódiques.

Entós, dicir con toa propiedá que'l númberu Plantía:Raigañu ye aproximao igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien ye igual a 1,4142135… onde los trés puntos faen referencia a los infinitos decimales que faen falta y qu'enxamás terminaríamos d'escribir. Por cuenta de ello, los númberos irracionales más conocíos son identificaos por aciu símbolos especiales; los trés principales son los siguientes:

1. ${\displaystyle \pi }$ (Númberu "pi" 3,14159...): razón ente'l llargor d'una circunferencia y la so diámetru.
2. e (Númberu "e" 2,7182...): ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$
3. ${\displaystyle \Phi }$ (Númberu "áureo" 1,6180...): ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
4. les soluciones reales de x² - 3 = 0; de x⁵ -7 = 0; de x³ = 11; 3^x = 5; sen 7º, etc^[4]

Los númberos irracionales clasificar en dos tipos:

1. Númberu alxebraicu: Son la solución de dalguna ecuación alxebraica y represéntense por un númberu finito de radicales llibres o añeraos en dellos casos^{[n. 1]}; si "x" representa esi númberu, al esaniciar radicales del segundu miembru por aciu operaciones inverses, queda una ecuación alxebraica de ciertu grau. Toes los raigaños non exactos de cualesquier orde son irracionales alxebraicos. Por casu, el númberu áureo ye una de los raigaños de la ecuación alxebraica ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1=0}$, polo que ye un númberu irracional alxebraicu.
2. Númberu trascendente: Nun pueden representase por aciu un númberu finito de raigaños llibres o añeraes; provienen de les llamaes funciones trascendentes (trigonométriques, logarítmiques y esponenciales, etc.) Tamién surden al escribir númberos decimales non periódicos al azar o con un patrón que nun lleva periodu definíu, respeutivamente, como los dos siguientes:

${\displaystyle \ 0,193650278443757}$...

${\displaystyle \ 0,101001000100001}$...

Los llamaos númberos trascendentes tienen especial relevancia yá que nun pueden ser solución de nenguna ecuación alxebraica. Los númberos pi y e son irracionales trascendentes, yá que nun pueden espresase por aciu radicales.

Los númberos irracionales nun son numerables, esto ye, nun pueden ponese en biyección col conxuntu de los númberos naturales. Por estensión, los númberos reales tampoco son contables yá que inclúin el conxuntu de los irracionales.

Propiedaes

• La suma y la diferencia d'un númberu racional y de un númberu irracional ye un númberu irracional.
• El productu d'un racional distintu de cero por un irracional ye un númberu irracional.
• El cociente ente un racional non nulu y un irracional, ye un númberu irracional.
• L'inversu d'un númberu irracional ye númberu irracional.
• Sía un binomiu, formáu por un racional más un radical de segundu orde, o la suma de dos radicales de segundu orde, que ye irracional. Entós el so conxugáu ye irracional.
• Los valores de llogaritmos vulgares o naturales y los valores de les razones trigonométriques, la inmensa mayoría non numerable, son irracionales.
• El númberu de Gelfond (2^{Plantía:Raigañu}) ye un númberu irracional trascendente^[5]
• El raigañu cuadráu d'un númberu natural non cuadráu perfectu ye un númberu irracional; tamién lo ye'l raigañu enésimu d'un natural p que nun ye potencia enésima perfecta.
• Ente dos racionales distintos, esiste a lo menos, un númberu irracional^[6]
• Les razones trigonométriques d'un ángulu son irracionales, escepcionalmente, una d'elles nel casu de que dos de los llaos del triángulu rectángulu sían racionales.^[6]
• La midida de Lebesgue de cualquier intervalu zarráu del tipu ${\displaystyle \scriptstyle [a,b]\cap \mathbb {I} \subset \mathbb {R} }$ ye igual a la midida b-a. Eso implica que si esistiera un procedimientu pa escoyer al azar un númberu de dichu intervalu, con probabilidá 1 el númberu llográu sería irracional.
• Cualquier númberu irracional que ta nun intervalu abiertu de númberos reales ye puntu d'acumuladura de los númberos reales de tal intervalu, como de los númberos irracionales del mesmu. Por casu: Plantía:Raigañu ye puntu d'acumuladura de los númberos reales del intervalu K = <1;4>, como tamién de los númberos irracionales de K.^[7]
• El conxuntu de los númberos irracionales ye equivalente (tienen el mesmu cardinal) al conxuntu de los númberos reales.^[8]

Ver tamién

• Númberu normal

Plantía:Clasificación númberu

Notes

1. Supónse que los raigaños d'una ecuación alxebraica de quintu grau son númberos alxebraicos, pero non siempres ye posible representar por radicales: Galois y Abel.

Referencies

1. Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra», Matemátiques 1. Grupu Editorial Bruño, Sociedá Llindada, páx. 14. ISBN 9788421659854.
2. Trejo 1973
3. Rodriquez Macías 1988, p. 2
4. Kalnin 1988
5. González & Mancill 1962
6. Courant & John 1996
7. Horvath 1969
8. Kuratowski 1966

Bibliografía

• Trejo, César A. (1973) El conceutu de númberu editorial=Ediciones de OEA, 2ª.
• Rodríguez Macías, Raúl (1988) Cálculu diferencial ya integral. L'Habana: Editorial Pueblu y Educación.
• Kalnin, R.A. (1988) Álgebra y funciones elementales. Moscú: Editorial Mir.
• Courant, Richard; John, Fritz (1996) Introducción al cálculu y al analís matemáticu 1. Limusa. ISBN 9681806409.
• González, M.O.; Mancill, J.D. (1962) Álgebra elemental moderna 1. Buenos Aires: Kapeluz.
• Horvath, Juan (1969) Introducción a la topoloxía xeneral. Washington D.C.: Programa Rexonal de Desenvolvimientu Científicu Teunolóxicu, Departamentos d'Asuntos Científicos, Secretaría Xeneral de la OEA.
• Kuratowski, Kazimierz (1966) Introducción a la Teoría de Conxuntos y a la Topoloxía. Vicens-Vives.

Enllaces esternos

• Wikcionariu tien definiciones y otra información tocante a númberu irracional.
• Númberos Irracionales Más información sobre númberos irracionales

• Datos: Q607728
• Multimedia: Irrational numbers