Ecuación diferencial ordinaria

En matemátiques, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente embrivida "EDO") ye la ecuación diferencial que rellaciona una función desconocida de una variable independiente coles sos derivaes. Esto ye, una sola variable independiente (a diferencia de les ecuaciones diferenciales parciales qu'arreyen derivaes parciales de delles variables), y una o más de les sos derivaes respectu de tal variable.

Ecuación diferencial ordinaria
ecuación diferencial

La trayeutoria d'un proyeutil llanzáu dende un cañón sigue una curva definida por una ecuación diferencial ordinaria que se deriva de la segunda llei de Newton.

Introducción

Recursos de la física, la inxeniería, la economía, la meteoroloxía, la bioloxía, la química y n'aplicaciones como les de modeláu en ciencies, estudiar en diverses árees (como xeometría, mecánica y astronomía) y perspectives.

Matemáticamente, ye de conveniente interés, el llogru d'una familia de funciones que verifiquen una ecuación y establecen la solución xeneral. Namái les ecuaciones diferenciales más sencielles almiten soluciones daes por fórmules esplícites (como les lliniales acomuñaes a una teoría desenvuelta práuticamente por completu). Sicasí, pueden determinase delles propiedaes de les soluciones d'una ecuación diferencial ensin riquir la so formulación exacta, clave pa resolver la mayoría de les ecuaciones diferenciales non lliniales de sumu interés en numberosos casos. Casos carentes d'una fórmula autu-contenida pa la so solución que se suple cola averada numbéricamente col auxiliu crucial de los ordenadores.

La matemática pura centra'l focu formal na solución, la so esistencia y si ye o non única. La aplicada controla la validez de los métodos pa la solución numbéricamente averada y el rigor de les xustificaciones con que-y los sofita.

La teoría de los sistemes dinámicos prioriza l'analís cualitativu de sistemes descritos por ecuaciones diferenciales mientres se vinieron sumando numberosos métodos numbéricos pa determinar soluciones con un grau dau de precisión.

N'inxeniería, ciencies naturales y sociales hai munchos problemes d'interés que, cuando se planteguen, esixen la determinación d'una función la cual tien de verificar una ecuación qu'arreya derivaes de la función desconocida. Diches ecuaciones denominar ecuaciones diferenciales. Seique l'exemplu más conocíu ye la llei de Newton:^[1]

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}o(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F\left(t,o(t),{\frac {\mathrm {d} o(t)}{\mathrm {d} t}}\right)}$

Importancia

Isaac Newton dábase cuenta de la importancia que teníen les ecuaciones diferenciales pal analís de los fenómenos de la naturaleza. Nos sos renombraos "Principios matemáticos de la filosofía natural" (1687) que engloban mecánica newtoniana, empiecen cola ecuación diferencial del movimientu. Esta ecuación considérase como axoma, ente que los planteamientos posteriores de la mecánica son, ello ye que teoremas que se deriven de dichu axoma, lo mesmo que de la llei de gravitación universal que s'esgaza de los fechos esperimentales (lleis de Kepler) y del mentáu axoma:^[2]

${\displaystyle m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=F}$

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) puede plantegase, siendo F una rellación o función, como

(1a)${\displaystyle \ F(x,y,y',y'',\dots ,y^{(n)})=0}$

... pa representar la EDO en que la función incógnita (tamién conocida como variable dependiente), ser d'una única variable independente.

Polo xeneral, una ecuación diferencial llinial d'orde n puede formulase, siendo cada ${\displaystyle a_{i}}$ una función dependiente de t, como:

(1b)${\displaystyle \ a_{n}(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=g(t)}$

Una solución de la ecuación (1a) o (1b) va ser una "familia" de curves o funciones del tipu ${\displaystyle y=f(t)\,}$ que substituida dientro de la ecuación convertir nuna igualdá na que tolos términos son conocíos.

Na formulación más simple, la función incógnita ye una función pa ciertu valor real o complexu pero con mayor xeneralidá, pue selo pal valor d'un vector o matriz, lo que lleva a considerar un sistema d'ecuaciones diferenciales ordinaries (EDO) pa una única función.

Definiciones

Ecuación diferencial ordinaria

Sía ${\displaystyle y=f(x)}$, tal que ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle y^{(n)}}$ la n-ésima derivada de y, entós una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orde n tien siguiente forma:

Plantía:Caxa d'ecuación

Para funciones vectoriales, :${\displaystyle y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$, la ecuación Plantía:NotaEcuación ye llamada un sistema d'ecuaciones lliniales diferenciales de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial d'orde n tien la forma :${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}\right)=0}$ ye llamada una ecuación diferencial implícita, ente que na forma :${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$ ye llamada una ecuación diferencial esplícita.

Una ecuación diferencial que nun depende de x ye denomada autónoma.

Dizse qu'una ecuación diferencial ye llinial si F puede ser escrita como una combinación llinial de les derivaes de y

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

siendo, tanto a_i(x) como r(x) funciones continues de x. La función r(x) ye llamada'l término fuente (traducíu del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial llinial ye llamada homoxénea, de lo contrario ye llamada non homoxénea.

Soluciones

Dada una ecuación diferencial

${\displaystyle F(x,y,y',\dots ,y^{(n)})=0,}$

una función o: I ⊂ R → R ye llamada la solución, y la so gráfica llámase curva integral de F,^[3] si o ye n vegaes derivable en I, y

${\displaystyle F(x,o,o',\ \dots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

Daes dos soluciones o: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, o ye llamada una estensión de v si I ⊂ J, y :${\displaystyle o(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

Una solución que nun tien estensión ye llamada una solución xeneral.^{[ensin referencies]}

Una solución xeneral d'una ecuación d'orde n ye una solución que contién n variables arbitraries, correspondientes a n constante d'integración constantes d'integración. Una solución particular ye derivada de la solución xeneral por aciu la fixación de valores particulares pa les constantes, de cutiu escoyíes pa cumplir condiciones iniciales. Una solución singular ye la que nun puede derivase de la xeneral.

Solución d'una EDO de primer orde Si considérase una ecuación

diferencial de la forma:

${\displaystyle y'=f(x,y}$)

una ecuación de primer orde resuelta con al respective de la derivada, llámase la so solución xeneral de l'anterior ecuación diferencial, va ser una función del tipu:

${\displaystyle y=\varphi (x,C)}$

que depende d'una constante arbitraria C. Satisfai ecuación diferencial pa cualquier valor de la constante C. Amás sía'l que quier la condición inicial

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$

siempres puede asignase un valor C₀ a la constante C, tal que la función y = φ(x, C₀) satisfaiga la condición inicial dada. Presumir que'l puntu (x₀, y₀) ta nun intervalu onde se cumplen les condiciones d'esistencia y d'unicidá de la solución.^[4] Les soluciones pueden atopase con auxiliu de tresformamientos idénticos y de cambeos de variables.^[5]

Condiciones iniciales

Artículu principal: Problema de Cauchy

Polo xeneral si nun s'especifiquen ciertos valores iniciales o de contorna, que tien de satisfaer la solución d'una ecuación diferencial como (1) entós nun va esistir una solución [particular] única, esto ye, una única función que satisfaiga la ecuación diferencial. Pa una ecuación diferencial llinial d'orde n por casu ríquense n condiciones iniciales o de contorna, por qu'esista una única función que cumpla simultáneamente la ecuación estrema y les condiciones de contorna. Si namái s'especifiquen condiciones iniciales el problema d'atopar una función que satisfaiga la ecuación diferencial y les condiciones iniciales denominar problema de Cauchy. Si especifiquen condiciones que nun son namái condiciones de contorna pueden tenese problemes distintos como los problemes de Sturm-Liuville.

Tipos y forma de resolución

Esisten diversos tipos d'ecuaciones diferenciales ordinaries, caúna con una forma de resolución distintu; pa clasificales, hai que faer la diferencia ente ecuaciones diferenciales de primer orde y ecuaciones d'orde cimeru (una y bones les primeres son, polo xeneral, de más bon resolución).

Esistencia y unicidá de soluciones

El teorema de Peano-Picard garantiza la esistencia d'una solución y la so unicidá pa toa ecuación diferencial ordinaria llinial con coeficientes continuos nun intervalu tien solución única en dichu intervalu. Pal casu d'ecuaciones diferenciales non lliniales nun esisten resultaos análogues al de Peano-Picard.

El teorema de Peano-Picard demuestra la esistencia por aciu una demostración constructiva, pa un sistema d'ecuaciones diferenciales lliniales de primer orde. Puesto que toa ecuación diferencial llinial d'orde arbitrariu puede amenorgase a un sistema d'ecuaciones diferenciales de primer orde, siguir del teorema de Peano-Picard la esistencia y unicidá de la solución. La idea del teorema ye simple constrúi una socesión de Cauchy funciones que la so llende ye precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidá per otra parte resulta trivial.

Soluciones analítiques

Esisten métodos de resolución xenerales pa ecuaciones diferenciales ordinaries lliniales que dexen atopar soluciones analítiques. En particular si los coeficientes de la ecuación llinial son constantes o periódicos la solución ye cuasi siempres bono de construyir. Pa coeficientes non constantes o non periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent ye aplicable con ciertes restricciones el métodu de Frobenius. Otra posibilidá ye amenorgar una ecuación diferencial llinial d'orde n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lliniales de primer orde.

Pa les ecuaciones diferenciales ordinaries non lliniales nun esisten métodos xenerales.

Soluciones numbériques

Dalgunos de los métodos de solución numbérica d'ecuaciones diferenciales son el métodu de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.

Ecuaciones diferenciales ordinaries de primer orde

Artículu principal: Ecuación diferencial ordinaria de primer orde

Una ecuación diferencial de primer orde col valor inicial espresar de la siguiente forma:

${\displaystyle [L]=\left\{{\begin{array}{*{20}c}{{\cfrac {dy}{dt}}=f(t,y)}\\{y(t_{0})=y_{0}}\\\end{array}}\right.}$

Onde ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}\,}$ ye la condición inicial.

Ente los tipos de EDOs de primer orde atópense:^[6]

Ecuación de variables xebrables

Son EDOs de la forma:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y)}$

Estes puédense espresar na forma:

${\displaystyle \ g(y)dy=h(t)dt}$

Onde se procede integrando dambos miembros de la ecuación

${\displaystyle \int g(y)dy=\int h(t)dt}$

De l'anterior ye posible llograr la solución xeneral. va suponese que les funciones g y h son continues.^[5]

Ecuación exacta

Artículu principal: Ecuación diferencial exacta

Una ecuación de la forma:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!}$

dizse exacta si esiste una función F que cumpla:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=M}$

y

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=N.}$

La so solución ye entós:

${\displaystyle F(x,y)=C.\,}$

EDO de primer orde y homoxénea

Artículu principal: Ecuación diferencial ordinaria de primer orde

La ecuación diferencial ordinaria de primer orde:

${\displaystyle y'=f(x,y),\qquad {\mbox{con}}\ f(tx,ty)=tf(x,y),\forall t\neq 0}$

Pa resolver úsase la sustitución y=xv, siendo v= v(x) una función desconocida. Sicasí, la pallabra 'homoxénea' asume otru significáu, dientro del estudiu de les EDOs, fora d'esti contestu.

Ecuación llinial

Artículu principal: Ecuación diferencial llinial

Una ecuación diferencial ye llinial si presenta la forma:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)\,}$

Y que tienen por solución:

${\displaystyle y(x)=y^{-\int P(x)dx}\left(C+\int Q(x)y^{\int P(x)dx}dx\right)}$

Como puede apreciase, esta ecuación ye una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

Ecuación de Bernoulli

Artículu principal: Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que ye de la mesma una xeneralización de la ecuación diferencial llinial, foi formulada por Jakob Bernoulli y resuelta pol so hermanu, Johann Bernoulli y presenta la forma:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

Na cual, si fai la sustitución ${\displaystyle z=y^{1-n}}$, la ecuación tresformar nuna ecuación llinial con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati

Artículu principal: Ecuación de Riccati

Esta ecuación diferencial introducida por Jacopo Francesco Riccati presenta la estructura:

${\displaystyle y'(x)+P(x)y^{2}+Q(x)y+R(x)=0\,}$

Pa resolvela, tien de faese la sustitución ${\displaystyle y=y_{p}+{\frac {1}{z}}}$, onde ${\displaystyle y_{p}}$ ye una solución particular cualesquier de la ecuación.

Ecuación de Lagrange

Una ecuación diferencial de Lagrange ^{[ensin referencies]} presenta la forma:

${\displaystyle y=g(y')x+f(y')\,}$

Resolviéndose cola sustitución ${\displaystyle y'=p}$, estremando y sustituyendo dy por pdx, convertir a otra considerada en x como función de p, ye llinial. Resolviendo ta última ${\displaystyle x=s(p,C)}$, tópase la solución xeneral de la ecuación inicial en forma paramétrica:

1. ${\displaystyle x=s(p,C)}$
2. ${\displaystyle y=s(p,C)g(p)+f(p)}$ onde p ye un parámetru.

Amás la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma ${\displaystyle y=xg(c)+f(c)}$, siendo c un raigañu de la ecuación ${\displaystyle c=g(c)}$.^[7]

Ecuación de Clairaut

Artículu principal: Ecuación diferencial de Clairaut

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada asina n'honor a Alexis-Claude Clairaut, tien la forma:

${\displaystyle y=xy'+f(y')\,}$

Como puede apreciase, esta ecuación ye una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con ${\displaystyle g(y')=y'}$, polo cual, el so resolución ye análoga a l'anterior.

Ecuación de Jacobi

Artículu principal: Ecuación de Jacobi

Ecuaciones diferenciales ordinaries de segundu orde

Munchos problemes físicos importantes tantu en mecánica como en electromagnetismu traen el resolución d'ecuaciones diferenciales de segundu orde.

Ecuación llinial con coeficientes constantes

La ecuación diferencial de segundu orde con coeficientes constantes tien la forma:

${\displaystyle a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=f(x)}$

La resolución d'esta ecuación depende de les raigaños del polinomiu característicu:

${\displaystyle a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0\,}$

En función de cómo sían los raigaños de dichu polinomiu estremen trés casos posibles y distintos:

• Caso 1: dos raíz reales y distintes ${\displaystyle (\lambda _{1}\neq \lambda _{2})\,}$, nesti casu la solución xeneral tien la forma:

${\displaystyle y(x)=C_{1}y^{\lambda _{1}x}+C_{2}y^{\lambda _{2}x}+{\frac {y^{\lambda _{1}x}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\int _{x_{0}}^{x}y^{-\lambda _{1}o}f(o)du+{\frac {y^{\lambda _{2}x}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\int _{x_{0}}^{x}y^{-\lambda _{2}o}f(o)du}$

• Caso 2: dos raíz reales ya iguales ${\displaystyle (\lambda _{1}=\lambda _{2})\,}$, nesti casu la solución xeneral tien la forma:

${\displaystyle y(x)=C_{1}y^{\lambda _{1}x}+C_{2}xe^{\lambda _{1}x}+xe^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}y^{-\lambda _{1}o}f(o)du-y^{\lambda _{1}x}\int _{x_{0}}^{x}xe^{-\lambda _{2}o}f(o)du}$

• Caso 3: dos raíz complexes conxugaes ${\displaystyle (\lambda _{1}=p+qi,\lambda _{2}=p-qi)\,}$, nesti casu la solución xeneral tien la forma:

${\displaystyle y(x)=y^{px}(C_{1}\cos qx+C_{2}\sin qx)+{\frac {y^{px}\sin qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}y^{-pu}f(o)\cos qu\ du-{\frac {y^{px}\cos qx}{q}}\int _{x_{0}}^{x}y^{-pu}f(o)\sin qu\ du}$

L'últimu términu d'esta última ecuación ta rellacionáu cola integral de Duhamel.

Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy

Esta ecuación tien la forma:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=g(x)}$

Y puede resolvese por aciu el cambéu de variable ${\displaystyle x=y^{t}\,}$ que tresforma la ecuación anterior nuna ecuación de coeficientes constantes resoluble polos métodos de la seición anterior:

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\bar {y}}}{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d{\bar {y}}}{dt}}+b{\bar {y}}=g(y^{t}),\qquad {\bar {y}}(t)=y(y^{t})}$

Ecuaciones de Bessel

Ver tamién: Función de Bessel

La ecuación diferencial de Bessel, apaez con frecuencia na resolución del problema de Dirichlet en coordenaes cilíndriques. Dicha ecuación tien la forma:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-n^{2})y=0}$

Esta ecuación ye resoluble por aciu les llamaes funciones de Bessel:

${\displaystyle y(x)=C_{1}J_{n}(x)+C_{2}Y_{n}(x)\,}$

Amás d'esta ecuación esiste otra ecuación resoluble por aciu funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, apaez con frecuencia na resolución del problema de Dirichlet en coordenaes cilíndriques. Dicha ecuación tien la forma:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(2p+1)x{\frac {dy}{dx}}+(\alpha x^{2r}+\beta ^{2})y=0}$

Que la so solución vien dada por:

${\displaystyle y(x)=x^{-p}\left[C_{1}J_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)+C_{2}Y_{q/r}\left({\frac {\alpha }{r}}x^{r}\right)\right],\qquad q:={\sqrt {p^{2}-\beta ^{2}}}}$

Ecuación de Legendre

Ver tamién: Polinomios de Legendre

La ecuación diferencial de Legendre, apaez con frecuencia na resolución del problema de Dirichlet en coordenaes esfériques. La ecuación tien la forma:

${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+n(n+1)y=0}$

Cuando n ye un enteru una de los dos soluciones independientes que conformen la solución xeneral de la ecuación anterior ye'l polinomiu de Legendre de grau n:

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}}$

Les solución xeneral puede espresase na forma:

${\displaystyle y(x)=C_{1}O_{n}(x)+C_{2}V_{n}(x)\,}$, o bien, ${\displaystyle =y(x)={\bar {C}}_{1}P_{n}(x)+{\bar {C}}_{2}Q_{n}(x)}$

Onde:

${\displaystyle {\begin{cases}O_{n}(x)=1-{\cfrac {n(n+1)}{2!}}x^{2}+{\cfrac {n(n-2)(n+1)(n+3)}{4!}}x^{4}-\ldots \\V_{n}(x)=x-{\cfrac {(n-1)(n+2)}{3!}}x^{3}+{\cfrac {(n-1)(n-3)(n+2)(n+4)}{5!}}x^{5}-\ldots \end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}(x)={\begin{cases}O_{n}(x)/O_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\V_{n}(x)/V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}}$, y ${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}V_{n}(x)O_{n}(1)&n=0,2,4,\ldots \\-O_{n}(x)V_{n}(1)&n=1,3,5,\ldots \end{cases}}}$

Ecuaciones diferenciales ordinaries d'orde cimeru

Ecuación llinial d'orde n con coeficientes constantes

La ecuación diferencial llinial d'orde n con coeficientes constantes ye de la siguiente forma:

${\displaystyle \ a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{1}y'+a_{0}y=g(t)}$

Onde los términos ${\displaystyle a_{i}\,}$ representen constantes ${\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} }$ Nel casu homoxéneu cuando'l segundu miembru ye hermano nulu, les soluciones d'esta ecuación pueden llograse a partir del raigaños del polinomiu característicu de la ecuación:

${\displaystyle \ a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}=0}$

Nel casu de que toes los raigaños sían distintos la solución vien dada por:

${\displaystyle y(x)=C_{1}y^{\lambda _{1}x}+\ldots +C_{n}y^{\lambda _{n}x}=\sum _{i=1}^{n}C_{i}y^{\lambda _{i}x}}$

Nel casu de qu'esistan dellos raigaños múltiples, esistiendo namái k raigaños distintos y siendo ${\displaystyle m_{i}}$ la multiplicidá del raigañu i-ésima, la solución xeneral ye de la forma:

${\displaystyle y(x)=\sum _{i=1}^{k}\left(C_{i,0}+C_{i,1}x+\ldots +C_{i,m_{i}-1}x^{m_{i}-1}\right)y^{\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=0}^{m_{i}-1}C_{i,j}x^{j}\right)y^{\lambda _{i}x},\quad k\leq n,\ \sum _{j=1}^{k}m_{j}=n}$

Les multiplicidaes de cada raigañu son l'esponente de la siguiente descomposición:

${\displaystyle a_{n}(\lambda -\lambda _{1})^{m_{1}}\ldots (\lambda -\lambda _{k})^{m_{k}}=a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}=0}$

Ver tamién

• Ecuación diferencial
• Ecuaciones en derivaes parciales
• Teorema de Picard
• Campu de direiciones

Referencies

1. Boyce & Di Prima 1991, pp. 17
2. Zeldovich & Yaglom 1987, pp. 210 y 211
3. Kiseliov, Krasnov & Makarenko 1987, p. 10
4. Kiseliov, Krasnov & Makarenko 1987, pp. 11-12
5. Filíppov 2007
6. Aranda Iriarte 2008 Capítulu 1 (ecuaciones de primer orde) Archiváu 2019-08-19 en Wayback Machine
7. Kiseliov, Krasnov & Makarenko 1987

Bibliografía

• Aranda Iriarte, José Ignacio (2008). Apuntes d'ecuaciones diferenciales I. Universidá Complutense de Madrid.
• Boyce; Di Prima (1991) Ecuaciones diferenciales y problemes con valores na frontera.
• Bronson, Richard (1990). Ecuaciones diferenciales modernes. Impresu n'Editorial Nomos, Bogotá: Mc Graw-Hill. ISBN 9684513186.
• Filíppov, A. F. (2007). Introducción a la teoría d'ecuaciones diferenciales. Moscú: URSS.
• Kiseliov, A.; Krasnov, M.; Makarenko, G. (1987) Problemes d'ecuaciones diferenciales ordinaries. Moscú: Mir.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems 140 (n'inglés). AMS. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Zeldovich, Iakov Borisovich; Yaglom, Isaak Moiseevich (1987) Matemátiques cimeros: pa los físicos y téunicos principiantes. Moscú: Mir.

Enllaces esternos

• Wikillibros tien un llibru o manual sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinaries. (n'inglés).
• Soluciones exactes d'Ecuaciones Diferenciales Ordinaries
• Métodos de resolución d'Ecuaciones Diferenciales Ordinaries

• Datos: Q465274
• Multimedia: Ordinary differential equations