معين (هندسة رياضية)

  لمعانٍ أخرى، طالع معين (توضيح).

في الهندسة الإقليدية، المُعَيَّن هو شكل رباعي أضلاعه الأربعة ذات أطوال متساوية، أو شكل رباعي مكون من مثلثين متساويي الساقين، لهما قاعدة مشتركة، والقاعدة المشتركة محذوفة، ويمكن تعريفه على أنه متوازي أضلاع فيه ضلعان متجاوران متساويان.

معيّن

معينان

معلومات عامة

النوع	متوازي أضلاع، رباعي أضلاع، طائرة ورقية
الحواف	4
رمز شليفلي	{ } + { }
زمرة تناظرات	زمرة زوجية (*2)
مضلع نظير	مستطيل
مساحة السطح	${\displaystyle {\tfrac {pq}{2}}}$، حيث p، q طولي القطرين
الخصائص	محدب، رباعي مماسي

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

صفاته:

• جميع أضلاعه متساوية.
• كل ضلعين متقابلين متوازيان.
• كل زاويتين متقابلتين متساويتان.
• قطراه متعامدان وينصفان زواياه، ويشكلان محوري تناظر للمعين.
• للمعين زاويتين حادتين و اخريتين منفرجتين، إلا إن كانت إحدى الزوايا قائمة، عندئذٍ يكون الشكل مربعاً.

المعين هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع، وهو حالة خاصة من الدالتون، كما أن معيناً بزاوية قائمة هو مربع.^[1][2]

مميزاته

نقول عن مضلع رباعي بسيط أنه معين إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط:^[3][4]

• تساوت جميع أطوال أضلاعه.
• تعامد قطراه ونصَّف كلٌّ منهما الآخر.
• نصَّف قطراه كل زاوية داخلية.
• كان متوازي أضلاعٍ ونصف أحد قطريه إحدى زواياه.
• كان متوازي أضلاعٍ وتساوى فيه ضلعان متجاوران.
• كان متوازي أضلاعٍ وتعامد قطراه.

خصائصه

يحمل المعين جميع خواص متوازي الأضلاع، بالإضافة إلى هذه الخصائص:

• يشكل قطرا المعين محوري تناظرٍ له، وتشكل نقطة تقاطعهما مركز تناظر له أيضاً.
• ينصف قطراه زواياه.
• يعد المعين رباعيّاً مماسيّاً، أي أن كل ضلعٍ فيه يشكل مماسّاً لدائرة واحدة.^[5] وكل ضلعين متقابلين متوازيين

المساحة

معين. كل زاوية معلمة بنقطة سوداء هي زاوية قائمة . الارتفاع h هو طول العمود النازل من رأس إلى الضلع الذي يقابله, وهو يساوي طول قطر الدائرة الداخلية. القطران p و q هما الخطين الأحمرين المنقطين.

تحسب مساحة المعين K بدلالة طول ضلعه a وارتفاعه h كالآتي:

${\displaystyle K=a\cdot h.}$

كما تحسب بدلالة طول ضلعه وجيب إحدى زواياه α أو β بالعلاقة: :

${\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta }$

ويمكن حساب مساحته بدلالة الارتفاع وجيب زاوية ما:

${\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }}}$

وبمعرفة طول القطرين p و q يمكن حساب المساحة بالقانون :

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}}}$

كما تحسب المساحة بدلالة نصف قطر الدائرة الداخلية r :

${\displaystyle K=2a\cdot r}$ .

انظر أيضًا

• متوازي أضلاع
• رباعي أضلاع
• دالتون
• موشور معيني

مراجع

1. Note: إقليدس's original definition and some English dictionaries' definition of rhombus excludes squares, but modern mathematicians prefer the inclusive definition.
2. إيريك ويستاين، Square، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية). inclusive usage
3. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 55-56.
4. Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, p. 53.
5. إيريك ويستاين، Rhombus، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• بوابة رياضيات
• بوابة هندسة رياضية