في الرياضيات ، مجموع ريمان ( بالإنكليزية : Riemann sum) هو نوع معين من الاقتراب من تكامل ما من خلال مجموع منته .
أربعة من طرق الجمع لريمان من أجل الاقتراب من قيمة المساحة الموجودة تحت المنحنى. طريقتا اليمين اليسار [1] [2] Maximum minimum
لتكن f : D → R دالة معرفة على مجموعة جزئية، D ، من مستقيم الأعداد الحقيقية، R . ليكن [I = [a ، b مجالا مغلقا ضمن D ، ولتكن
P
=
{
[
x
0
,
x
1
]
,
[
x
1
,
x
2
]
,
…
,
[
x
n
−
1
,
x
n
]
}
,
{\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},}
تجزئة ل I , حيث
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
⋯
<
x
n
=
b
.
{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.}
مجموع ريمان ل f على I طبقا للتجزئة P يعرف كما يلي
S
=
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
∗
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
,
x
i
−
1
≤
x
i
∗
≤
x
i
.
{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1}),\quad x_{i-1}\leq x_{i}^{*}\leq x_{i}.}
لاختيار
x
i
∗
{\displaystyle x_{i}^{*}}
[
x
i
−
1
,
x
i
]
{\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}
مثال: اختيار
x
i
∗
{\displaystyle x_{i}^{*}}
ريمان :
إذا كان
x
i
∗
=
x
i
−
1
{\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}
i ، فإن الطريقة هي القاعدة اليسرى ومنه S يسمى مجموع ريمان اليساري .
إذا كان
x
i
∗
=
x
i
{\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}
i ، فإن الطريقة هي القاعدة اليمنى ومنه S يسمى مجموع ريمان اليميني .
إذا كان
x
i
∗
=
1
2
(
x
i
+
x
i
−
1
)
{\displaystyle x_{i}^{*}={\tfrac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})}
i ، فإن الطريقة هي قاعدة النقطة الوسطى ومنه S يسمى مجموع ريمان الأوسط .
متوسط مجموعي ريمان اليساري واليميني يسمى المجموع شبه المنحرف .
إذا كان لدينا
S
=
∑
i
=
1
n
v
i
(
x
i
−
x
i
−
1
)
,
{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1}),}
عندما تكون
v
i
{\displaystyle v_{i}}
f على المجال
[
x
i
−
1
,
x
i
]
{\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}
S يعرف على أنه مجموع ريمان العُلوي . بالمماثلة، إذا كان
v
i
{\displaystyle v_{i}}
f على المجال
[
x
i
−
1
,
x
i
]
{\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}
S يكون هو مجموع ريمان السفلي .
مجموع من اليسار
مجموع من اليمين
مجموع من الوسط
مع
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
.gif)
.gif)
.gif)
.gif)
![{\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e154f451e776e58ef356670f49b866ea897bda1b)
![{\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cb12a889d47020c8ce7046a2eb60785e00c0b6)
