عدد فيرما

في الرياضيات، عدد فيرما (بالإنجليزية: Fermat number)‏ هو عدد صحيح موجب يكتب على شكل:

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}$

حيث n هو عدد صحيح غير سالب.^[1][2] سمي كذلك نسبة إلى بيير دي فيرما لأنه هو أول من درس هذه الأعداد.

إذا كان العدد 2ⁿ + 1 عددا أوليا وكان n > 0 من الممكن برهان أن n هو من مضاعفات العدد 2.

لائحة أعداد فيرما الأولية المعروفة لا تحتوي على غير F₀ وF₁ وF₂ وF₃ وF₄.

الخصائص الأساسية

تحقق أعداد فيرما العلاقات ذاتية الاستدعاء التالية:

${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$

${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2}$

كلما توفر n ≥ 1.

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}$

كلما توفر n ≥ 2. يُبرهن على هذه العلاقات باستعمال البرهان بالترجع.

هل أعداد فيرما أولية ؟

درست أعداد فيرما وأعداد فيرما الأولية من طرف عالم الرياضيات بيير دي فيرما، الذي حدس (ولكنه أعلن عدم إمكانه البرهان على ذلك) أن جميع أعداد فيرما هي أعداد أولية. بالفعل، فالأعداد F4,...,F0 هي أعداد أولية. ولكن هاته الحدسية دحضت من طرف ليونهارد أويلر عندما أثبت عام 1732 أن :

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417.\;}$

أثبت أويلر أن جميع العوامل القاسمة لأعداد فيرما تكتبن على الشكل k2ⁿ⁺¹ + 1 ليثبت بعده إدوارد لوكاس أنهن تكتبن على الشكل k2ⁿ⁺² + 1. (أي أنه أثبت بأن k الذي جاء في صيغة أويلر زوجي).

تعميل أعداد فيرما

أعداد فيرما التسعة الأولى هن :

F0	=	21	+	1	=	3
F1	=	22	+	1	=	5
F2	=	24	+	1	=	17
F3	=	28	+	1	=	257
F4	=	216	+	1	=	65537
F5	=	232	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417
F6	=	264	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617
					=	274,177 × 67,280,421,310,721
F7	=	2128	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
					=	59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F8	=	2256	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
					=	1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

العام	المخترع	عدد فيرما	العامل
1732	أويلر	${\displaystyle F_{5}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{7}+1}$
1732	أويلر	${\displaystyle F_{5}}$ (معملة بشكل كامل)	${\displaystyle 52347\cdot 2^{7}+1}$
1855	توماس كلوسين	${\displaystyle F_{6}}$	${\displaystyle 1071\cdot 2^{8}+1}$
1855	كلوسين	${\displaystyle F_{6}}$ (معملة بشكل كامل)	${\displaystyle 262814145745\cdot 2^{8}+1}$
1877	بيرفوشين	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle 7\cdot 2^{14}+1}$
1878	بيرفوشين	${\displaystyle F_{23}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{25}+1}$
1886	Seelhoff	${\displaystyle F_{36}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{39}+1}$
1899	Cunningham	${\displaystyle F_{11}}$	${\displaystyle 39\cdot 2^{13}+1}$
1899	Cunningham	${\displaystyle F_{11}}$	${\displaystyle 119\cdot 2^{13}+1}$
1903	Western	${\displaystyle F_{9}}$	${\displaystyle 37\cdot 2^{16}+1}$
1903	Western	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle 397\cdot 2^{16}+1}$
1903	Western	${\displaystyle F_{12}}$	${\displaystyle 973\cdot 2^{16}+1}$
1903	Western	${\displaystyle F_{18}}$	${\displaystyle 13\cdot 2^{20}+1}$
1903	Cullen	${\displaystyle F_{38}}$	${\displaystyle 3\cdot 2^{41}+1}$
1906	Morehead	${\displaystyle F_{73}}$	${\displaystyle 5\cdot 2^{75}+1}$
1925	Kraitchik	${\displaystyle F_{15}}$	${\displaystyle 579\cdot 2^{21}+1}$

الأعداد شبه الأولية وأعداد فيرما

مبرهنات أخرى حول أعداد فيرما

لأي عدديين صحيحين موجبين m < n العلاقة التالية تتحقق

${\displaystyle F_{n}=(F_{m}-1)^{2^{(n-m)}}+1}$

علاقة أعداد فيرما بمتعددات الأضلع القابلة للإنشاء

عدد أضلع متعددات القابلة للإنشاء عدد أضلاعها يذهب إلى حدود الألف (الغليظ) أو بعدد فردي من الأضلاع (الأحمر)

المقالة الرئيسة: مضلع قابل للإنشاء

طور كارل فريدريش غاوس نظرية الدورات الغاوسية في كتابه استفسارات حسابية، فأعطى شرطا كافيا لقابلية متعددٍ للأضلاع للإنشاء بالمسطرة والبركار. ادعى غاوس أن شرطه ليس كافيا فحسب، وإنما هو ضروري أيضا، ولكنه لم ينشر برهانه على ذلك. جاء بالبرهان الكامل عام 1837 عالم الرياضيات الفرنسي بيير فانتزل، مما جعل هذه النتيجة تعرف باسم مبرهنة غاوس-فانتزل.

متعددٌ للأضلاع عدد أضلاعه يساوي n قابل للإنشاء بالمسطرة والبركار وحدهما إذا وفقط إذا كان n جداءا لقوةٍ لاثنين من جهة، ولائحة من أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر، من جهة أخرى. بتعير آخر، إذا وفقط إذا كان n يكتب على شكل n = 2^kp₁p₂…p_s حيث k عدد طبيعي موجب وحيث p_i هن أعداد أولية لفيرما يختلف الواحد منهن عن الآخر.

انظر إلى مؤشر أويلر.

تطبيقات أعداد فيرما

توليد الأعداد شبه العشوائية

حقائق مهمة أخرى

أعداد فيرما المعممة

أعداد فيرما الأولية المعممة

انظر أيضًا

• مضلع قابل للإنشاء
• مبرهنة لوكاس
• عدد ميرسين الأولي,
• عدد شبه أولي,

مراجع

1. "معلومات عن عدد فيرما على موقع oeis.org". oeis.org. مؤرشف من الأصل في 2020-08-12.
2. "معلومات عن عدد فيرما على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 2020-10-31.

• 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
• S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475—478.
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), سبرنجر, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3,A12,B21.
• Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171—173.
• Michal Krizek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95—112.
• A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111—115.

وصلات خارجية

• بوابة رياضيات
• بوابة نظرية الأعداد