Loading AI tools
صنف من الدوال الرياضية من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
الدالة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Function) هي كل دالة تُكتب على الشكل حيث و عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان فإن الدالة تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي.[1][2][3]
دالة أسية | |
---|---|
![]() تمثيل الدوال الأسية في جملة الإحداثيات الديكارتيّة، فاللون الأسود ذو الأساس (e)، واللون الأحمر ذو الأساس 10، واللون الأزرق ذو الأساس 12، نلاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة (0، 1). | |
تدوين | أو |
دالة عكسية | |
مشتق الدالة | |
مشتق عكسي (تكامل) |
|
الميزات الأساسية | |
مجال الدالة | |
المجال المقابل | |
قيم محددة | |
القيمة/النهاية عند الصفر | 1 |
نهاية الدالة عند +∞ | إذا كان إذا كان |
نهاية الدالة عند -∞ | إذا كان إذا كان |
القيمة/النهاية عند 1 | |
خطوط مقاربة | |
تعديل مصدري - تعديل ![]() |
مثال آخر للدالة الأسية:
أي أن الدالة الأسية بصفة عامة:
X = yn
تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم «هـ» بدلا عن e.
التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.
من خواص الدالة الأسية:
الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:
حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.
يمكن تحويل الدالة الأسية إلى أي أساس آخر :
وتنطبق القوانين التالية عليها:
وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة و وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة .
من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز ln ، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».
الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:
أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.
الدالة الأسية الطبيعية | |
---|---|
![]() الدالة الأسية الطبيعية تكاد تكون أفقية عند القيم السلبية للأس عندما يكون الأساس أكبر قطعا من الواحد، ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية، وتساوي 1 عندما تساوي قيمة x الصفر. | |
تدوين | أو |
دالة عكسية | |
مشتق الدالة | |
مشتق عكسي (تكامل) |
|
الميزات الأساسية | |
مجال الدالة | |
المجال المقابل | |
قيم محددة | |
القيمة/النهاية عند الصفر | 1 |
نهاية الدالة عند +∞ | |
نهاية الدالة عند -∞ | |
القيمة/النهاية عند 1 | e |
خطوط مقاربة | |
تعديل مصدري - تعديل ![]() |
هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).
وتكتب باللغة الإنجليزية:
حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828
وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.
أو بالتفصيل:
x = en
من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:
وذلك لجميع وجميع الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)
للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل: اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)
وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = en حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e-t.c.
يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:
أقل شيوعا يمكن تعريف ex كحل للمعادلة التالية:
هي أيضا تساوي النهاية التالية:
تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:
وعندما نختار لها الشرط:
تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون ينتج:
حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:
وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد e في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.
إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث حيث ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية
مثال:
قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:
وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).
وتعتمد: على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.
ليكن عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث
المجموع الأول
نهاية هذا المجموع:
المجموع الثاني
نهاية هذا المجموع:
تزايد الميكروبات: ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.
أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات:
N = 23
N = 8
فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:
N = 26
N = 64
أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.
التزايد السكاني:
يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟
نكتب المعادلة الآتي:
N = 4. e0,025.6
أو:
والنتيجة:
مثال 3 :
تكوّن النجوم: تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.
N = 1. e0,002.170
N = 1. e0,34
باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.
مثال 4:
تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:
حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض .
(أنظر تغير الضغط بالارتفاع)
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.