توزيع احتمالي طبيعي
من ويكيبيديا، الموسوعة encyclopedia
في نظرية الاحتمالات، التوزيع الطبيعي (أو توزيع غاوس نسبة الفيزيائي غاوس) هو توزيع احتمالي مستمر كثير الانتشار والاستعمال، يستخدم - غالباً - تقريباً أولياً لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة . مثال عملي: عندما تقيس الاشعاعات الصادرة من عينة مشعة بواسطة عداد لمدة دقيقة ، فإنك تحصل على قيم مختلفة : الك القيم تكون عادة غير متساوية ، بل تكون متناثرة حول متوسطها الحسابي . وعندما تقوم برسم تلك القيم في رسم بياني فأنها طبيعيا تتخذ شكل الجرس الذي تراه في الشكل. بصفة عامة: الرسم البياني في الشكل دالة الكثافة الاحتمالية للقياسات يبين أن توزيع جاوس يشبه الجرس، ويعرف بالدالة الغاوسية أو منحني الجرس.
- حيث :\mu } هي القيمة المتوقعة (مكان الذروة)، و هي التباين (مقياس عرض التوزيع). عندما تكون قيم وسيطي التوزيع و فإنه يسمى التوزيع الطبيعي المعياري.
دالة الكثافة الاحتمالية الخط الأخضر يمثل التوزيع الاحتمالي الطبيعي | |
دالة التوزيع التراكمي | |
المؤشرات | موقع (عدد حقيقي) مقياس تربيعي (عدد حقيقي) |
الدعم | ;+\infty [\!} |
د۔ك۔ح۔ | |
د۔ت۔ت | |
المتوسط الحسابي | |
الوسيط الحسابي | |
المنوال | |
التباين | |
التجانف | 0 |
التفرطح | 3 (حالة توزيع طبيعي)
0 (في حالة توزيع طبيعي موسّط ومختزل) |
الاعتلاج | |
د۔م۔ع | |
الدالة المميزة | |
معلومات فيشر | {{{معلومات فيشر}}} |
يعد التوزيع الطبيعي التوزيع الاحتمالي المستمر الأساسي، نظراً لدوره في مبرهنة النهاية المركزية، كما أنه من أول التوزيعات المستمرة التي تدرس في مقررات الإحصاء الابتدائية. فوفقاً لمبرهنة النهاية المركزية، وتحت شروط معينة، فإن مجموع عدد من المتغيرات العشوائية بعدد منته من المتوسطات والتباينات يقارب توزيعاً طبيعياً بازدياد عدد تلك المتغيرات. ولهذا السبب، فإنه كثيراً ما يشاهد هذا التوزيع في الممارسة العملية، وهو يستخدم في الإحصاء والعلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية [1] نموذجاً بسيطاً للتعامل مع ظواهر معقدة. على سبيل المثال، خطأ الملاحظة في تجربة ما، غالباً ما يتبع توزيعاً طبيعياً. كما يحسب انتشار اللايقين باستخدام هذا الافتراض أيضاً.
أمثــــلة:
- أطوال الشبان: عندما تسأل 10000 من الشبان عن طولهم تجد أن أطوالهم تتوزع بين 150 إلى 110 سمتيمتر وبمتوسط 72 سنتيمتر. معظم الشبان تجدهم حول الذروة 72 سنتيمتر. وأما الاعداد الصغيرة جدا للطول تجدها عند 150 سنتيمتر و 110 سنتيمتر،
- أيضا عندما تعمل إحصائية بين الناس بين الفقير والغني ، تجد أن القمة تمثل أعداد الطبقة المتوسطة ، وعن يمينها ويسارها تجد عددا قليلا من الفقراء جدا ومن الأغنياء جدا.
- كذلك توزيع انجاب الأطفال : تجد أن متوسط عدد الأطفال في الأسرة 3 (قمة التوزيع الجرسي ) ،
وإلى أقصى اليمين تجد عدد العائلات التي أنجبت 12 طفلا ، وإلى أقصى اليسار العائلة التي أنجبت طفلا واحدا أو لم تـُنجب.
- لهذا يسمى توزيعا طبيعيا .
انظر إلى توزيع ستيودنت الاحتمالي وإلى توزيع كوشي وإلى التوزيع اللوجستي.
لاحظ أن لمتغير ذي توزع طبيعي توزيعاً متناظراً حول متوسطه. ولهذا فإن القيم التي تنمو بشكل أسي (كالأسعار والدخل وعدد السكان) تكون ملتوية نحو اليمين (skewness)، وبالتالي يمكن التعبير عنها بشكل أفضل باستخدام توزيعات أخرى، كالتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي وتوزيع باريتو.