مسألة ن من الأجسام

مسألة ن من الأجسام^[1] (بالإنجليزية: n-body problem)‏ في الفيزياء هي مسألة تنبؤ بالحركات الفردية لمجموعة من الأجرام السماوية التي تتفاعل مع بعضها جذبويًا. نشأ حل هذه المسألة من الرغبة في فهم حركات الشمس والقمر والكواكب والنجوم المرئية. في القرن العشرين، أصبح فهم ديناميكا نظم التجمعات العنقودية النجمية مثالًا هامًا في مسألة ن من الأجسام. يصعب حل مسألة ن من الأجسام جدًا في النسبية العامة.^[2][3]

تمكِن صياغة المسألة الفيزيائية بشكل غير رسمي كالآتي:

بمعرفة الخصائص المدارية شبه الثابتة (الموقع الحالي والسرعة والزمن) لمجموعة من الأجرام السماوية، يمكن التنبؤ بقواتها التفاعلية؛ ثم التنبؤ بحركاتهم المدارية الحقيقية في أي زمن من المستقبل.

لهذا السبب، أمكن حل مسألة الجسمين بالكامل وهو موجود بالأسفل، كما مسألة الأجسام الثلاثة المشهورة.^[4]

التاريخ

بمعرفة نيوتن لثلاثة مواقع مدارية -حصل عليها من الفلكي جون فلامستيد- على مدار الكوكب، تمكن من تكوين معادلة للتنبؤ بحركة الكوكب عن طريق الهندسة التحليلية المباشرة؛ لإعطائه خصائصه المدارية من الموقع والقطر المداري والمدة الزمنية والسرعة المدارية. بعد فعل هذا، سرعان ما اكتشف نيوتن والآخرون على مدى بضع سنوات أن معادلات الحركة هذه لم تتنبأ بخصائص بعض المدارات على نحو جيد أو حتى بشكل صحيح. أدرك نيوتن أن السبب هو أن القوى الجذبوية المتفاعلة بين كل الكواكب كانت تؤثر على كل مداراتها.^[5][6][7]

ينفذ الاكتشاف المذكور بالأعلى مباشرة إلى لب الأمر عن ماهيّة مسألة ن من الأجسام تحديدًا في الفيزياء: لا يكفي تحديد الموقع المبدئي والسرعة فقط ولا حتى الثلاثة مواقع المدارية، لتحديد مدار الكوكب الفعلي: يجب كذلك معرفة القوى الجذبوية المتفاعلة. ومن هنا جاء الوعي بمسألة ن من الأجسام ونشأتها في وقت مبكر من القرن السابع عشر. تتفق هذه القوى الجذبوية بالفعل مع قوانين الحركة وقانون الجذب العام لنيوتن، لكن التفاعلات العديدة (لعدد ن من الأجسام) جعلت الحل الدقيق أمرًا يصعب الحصول عليه. ومن المفارقات أن هذا التوافق أدى إلى نهج خاطئ.

لم تُصَغ مسألة ن من الأجسام تاريخيًا بشكل صحيح بعد زمن نيوتن؛ لأنها لم تُرجع إلى هذه القوى الجذبوية المتفاعلة. لم يقل نيوتن هذا صراحةً لكنه لمّح إليه في الأصول أن مسألة ن من الأجسام لا يمكن حلها بسبب هذه القوى الجذبوية المتفاعلة. يقول نيوتن في كتابه الأصول، في الفقرة 21:^[8][9]

توجد هذه القوة الجاذبة في كلا الجسمين. تجذب الشمس المشتري وغيره من الكواكب، ويجذب المشتري أقماره التي تجذب بعضها البعض. وبالرغم من أننا يمكننا الفصل بين تأثير أحد الكوكبين المتزاوجين على الآخر، ويمكن اعتبارهما فعلين مختلفين يجذب كل منهما الآخر به، فلا يعتبر الجسمان جسمين بل عملية بسيطة بين طرفين؛ نظرًا لكون العمليتين بين نفس الجسمين. يمكن أن يشد كل من الجسمين الجسم الآخر من خلال انقباض حبل موجود بينهما. سبب هذا الفعل ذو شقين، أي إزاحة كل من الجسمين، ويكون الفعل نفسه ذا شقين، بقدر ما هو على جسمين، بقدر ما هو بين جسمين فهو فعل واحد مفرد...

استنتج نيوتن من خلال قانونه الثالث للحركة أنه «وفقًا لقانونه، يجب أن تجذب كل الأجسام بعضها». تعَد هذه العبارة الأخيرة -التي تتضمن وجود قوى جذبوية متفاعلة- مفتاحًا لحل المسألة.

كما هو موضح بالأسفل، تتفق المسألة أيضًا مع المبدأين غير النيوتونيين الأول والثاني لجون لورن داليمبير، ومع خوارزمية مسألة ن من الأجسام اللاخطية، تسمح الأخيرة بحل مغلق لحساب تلك القوى المتفاعلة.  

اعتبرت مسألة إيجاد حل عام لمسألة ن من الأجسام أمرًا في غاية الأهمية والصعوبة. بالفعل في أواخر القرن التاسع عشر، حدد أوسكار الثاني ملك السويد جائزة لأي أحد يمكنه إيجاد حل لهذه المسألة، بناءً على نصيحة جوستا ميتاج ليفير.^[10]

المراجع

1. هيئة الموسوعة العربية (1998)، "الميكانيك السماوي"، الموسوعة العربية، دمشق: هيئة الموسوعة العربية، ج. 20، ص. 260، QID:Q12194102
2. Leimanis and Minorsky: Our interest is with Leimanis, who first discusses some history about the n-body problem, especially Ms. Kovalevskaya's 1868–1888 twenty-year complex-variables approach, failure; Section 1: "The Dynamics of Rigid Bodies and Mathematical Exterior Ballistics" (Chapter 1, "The motion of a rigid body about a fixed point (Euler and Poisson equations)"; Chapter 2, "Mathematical Exterior Ballistics"), good precursor background to the n-body problem; Section 2: "Celestial Mechanics" (Chapter 1, "The Uniformization of the Three-body Problem (Restricted Three-body Problem)"; Chapter 2, "Capture in the Three-Body Problem"; Chapter 3, "Generalized n-body Problem").
3. See references cited for Heggie and Hut.
4. A general, classical solution in terms of first integrals is known to be impossible. An exact theoretical solution for arbitrary n can be approximated via متسلسلة تايلور, but in practice such an متسلسلة must be truncated, giving at best only an approximate solution; and an approach now obsolete. In addition, the n-body problem may be solved using تكامل عددي, but these, too, are approximate solutions; and again obsolete. See Sverre J. Aarseth's book Gravitational n-Body Simulations listed in the References.
5. Clark، David H.؛ Clark، Stephen P. H. (2001). The Suppressed Scientific Discoveries of Stephen Gray and John Flamsteed, Newton's Tyranny. W. H. Freeman and Co.. A popularization of the historical events and bickering between those parties, but more importantly about the results they produced.
6. See Brewster، David (1905). "Discovery of gravitation, A.D. 1666". في Johnson، Rossiter (المحرر). The Great Events by Famous Historians. The National Alumni. ج. XII. ص. 51–65.
7. Rudolf Kurth has an extensive discussion in his book (see References) on planetary perturbations. An aside: these mathematically undefined planetary perturbations (wobbles) still exist undefined even today and planetary orbits have to be constantly updated, usually yearly. See Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris and Nautical Almanac, prepared jointly by the Nautical Almanac Offices of the United Kingdom and the United States of America.
8. See Principia, Book Three, System of the World, "General Scholium", page 372, last paragraph. Newton was well aware his mathematical model did not reflect physical reality. This edition referenced is from the Great Books of the Western World, Volume 34, which was translated by Andrew Motte and revised by فلوريان كاجوري.^{[استشهاد منقوص البيانات]} This same paragraph is on page 1160 in ستيفن هوكينز, On the Shoulders of Giants, 2002 edition;^{[استشهاد منقوص البيانات]} is a copy from Daniel Adee's 1848 addition. Cohen also has translated new editions: Introduction to Newton's Principia, 1970; and Isaac Newton's Principia, with Variant Readings, 1972. Cajori also wrote History of Science, which is online.^{[استشهاد منقوص البيانات]}
9. See. I. Bernard Cohen's Scientific American article.
10. For details of the serious error in Poincare's first submission see the article by Diacu.

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي
• بوابة علم الفلك
• بوابة الفيزياء