صيغة كوشي التكاملية

في التحليل المركب، تنص صيغة كوشي التكاملية (بالإنجليزية: Cauchy's integral formula)‏ على أنه يمكن تحديد قيمة التابع التحليلي، المعرف على قرص، في أي نقطة داخل القرص بواسطة قيم هذا التابع على محيط هذا القرص، أي.^[1][2]

صيغة كوشي التكاملية

معلومات عامة

سُمِّي باسم	أوغستين لوي كوشي
تعريف الصيغة	${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\mathsf {C}}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,\mathrm {d} z}$
الرموز في الصيغة	${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \int _{\mathsf {C}}f(z)\,\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

  ميّز عن مبرهنة التكامل لكوشي.

  ميّز عن صيغة كوشي للتكامل المتكرر.

المبرهنة

ليكن U مجموعة مفتوحة من المستوى العقدي C وليكن القرص المنغلق D المعرف كما يلي:

${\displaystyle D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}$

ضمن المجموعة U بشكل كامل.

${\displaystyle f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}}$

ومن هذه الصيغة يمكن استنتاج قابلية هذا التابع للمفاضلة بعدد لا نهائي من المرات

${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.}$

مثال

المساحة (أو السطح) الممثلة للجزء الحقيقي للدالة g(z) = z² / (z² + 2z + 2) and its singularities, with the contours الموصوفة في النص.

لتكن الدالة

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}$,

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$

النتائج

انظر إلى نعومة دالة.

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$

انظر أيضا

• معادلات كوشي-ريمان

مراجع

1. "معلومات عن صيغة كوشي التكاملية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2022-05-23.
2. "معلومات عن صيغة كوشي التكاملية على موقع ncatlab.org". ncatlab.org. مؤرشف من integral formula الأصل في 2023-05-05. {{استشهاد ويب}}: تحقق من قيمة |مسار= (مساعدة)^{[وصلة مكسورة]}

• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات