ማትሪክስ

ማትሪክስ ማለት በአራት ማዕዘን የተደረደሩ ቁጥሮች ማለት ነው። ማትሪክስ የሚለው ቃል ከላቲኑ "ማተር" የመጣ ሲሆን ትርጉሙም እናት ማለት ነው። እናት የሚለው ቃል ለምን የአራት ማዕዘን ድርድር ቁጥሮች ስም እንደሆነ ወደኋላ እናያለን። ማትሪክሶች አጻጻፋቸው እንዲህ ይመስላል

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}10&5&22\\0&100&4\\7&55&41\end{bmatrix}}}$

እንግዲህ 10፣ 5፣ 22፣ 0፣ 100 ፣ 4 ፣ 7፣ 55፣ እና 41 የማትሪክሱ አባላት ይሰኛሉ። እያንዳንዱ አግድም ረድፍ ሲሰኝ ፣ ከላይ ወደታች የተደረደረው ደግሞ አምድ በመባል ይታወቃል። የአንድ ማትሪክስ መጠን የሚወሰነው እንዲህ ነው፡ m ረድፎችና n አምዶች ያሉት ማትሪክስ m-በ-n ማትሪክስ ወይም m × n ማትሪክስ በመባል ይወሰናል፣ m እና n የማትሪክሱ ቅጥ ይሰኛሉ። ስለሆነም ከላይ ያየነው ምሳሌ 3-በ-3 ማትሪክስ ይሰኛል፣ ምክንያቱም 3 ረድፍና 3 አምድ ስላለው።

አንድ ብቻ ረድፍ ( 1 × n ማትሪክስ)ያለው ማትሪክስ ረድፍ ጨረር ሲሰኝ m × 1 ማትሪክስ ደግሞ አምድ ጨረር ይሰኛል። ስለሆነም ማናቸውም የአንድ ማትሪክስ ረድፎችና አምዶች ተነጥለው ሲወጡ ራሳቸውን የቻሉ አምድ ጨረርና ረድፍ ጨረር ይሰራሉ። ለምሳሌ ከላይ በምሳሌ የቀረበውን ማትሪክስ የመጀመሪያ ረድፍ በመምዘዝ የሚከተለውን ረድፍ ጨረር እናገኛለን፡-

a_{1,∗ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}10&5&222\\\end{bmatrix}}}$}

ከዚህ አንጻር ማትሪክስ ማለት የ ረድፍ ወይም የምድ ጨረሮች ድርድር ነው። የማትሪክሶች ድርድር በተራው ቴንሰር በመባል ይታወቃል። ስለሆነም ቁጥር->ጨረር->ማትሪክስ->ቴንሰር እያለ ይጠቃለላል ማለት ነው።

የማትሪክስ አባላት እና አጻጻፋቸው

• በአንድ ማትሪክስ ውስጥ በ i ኛው ረድፍና በ j ኛው አምድ ያለ አባል ቁጥር እንዲህ በመባል ይጠቀሳል፡ i,j, (i,j), ወይም (i,j)^ኛው አባል በመባል። ለምሳሌ ከላይ የተሰጠው ማትሪክስ (2,3) ኛ (2ኛ ረድፍና 3ኛ አምድ) አባል 4 ነው ማለት ነው። የማትሪክስ A (i, j)^ኛ አባል ብዙ ጊዜ አጻጻፉ እንዲህ ነው a_i,j፣ አንድ አንድ ጊዜም እንዲህ ሲባል ሊጻፍ ይቻላል A[i,j] ወይም A_i,j።

• የአንድን ማትሪክስ አንድ ሙሉ ረድፍ ወይም አንድ ሙሉ አምድ ለማሳየት አስተሪክ ( *) ይጠቅማል። ለምሳሌ a_i,∗ ሲነበብ የA i^ኛውረድፍ ማለቱ ነው። በሌላ ጎን a_∗,j ማለልቱ የ A j^ኛው አምድ ማለቱ ነው።

• A = [a_i,j]_m×n m × n ማትሪክስ A ቢሆን ብዙ ጊዜ እያንዳንዱ አባል a_i,j በዝርዝር መልክ ለያንዳንዱ ረድፍ 1 ≤ i ≤ m እና አምድ 1 ≤ j ≤ n ይቀመጣል። ነገር ግን አንድ አንድ ጊዜ አባሎቹ በቀመር መልኩ ሊቀመጡ ይችላሉ። ለምሳሌ የሚከተለውን 3-በ-4 ማትሪክስ እንመልከት፡

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\\\end{bmatrix}}}$

በደምብ ላስተዋለው ሰው እያንዳንዱ የማትሪክሱ አባል ያለበት ረድፍ ቁጥር ላይ የአምድ ቁጥሩ ሲቀነስ ነው። ስለሆነም አባላቱን በቀመር መልኩ እንዲህ እናስቀምጣለን A = [i − j]_{i=1,2,3; j=1,...,4}, ወይም በቀላሉ A = ((i-j)), እዚህ ላይ ሁለት ቅንፍ መጠቀም ግድ ይላል፣ የማትሪክስ ቀመር መሆኑን ለማሳየት።

በማትሪክስ ላይ የሚከናወኑ ተግባራት

ተግባር	ትርጓሜ	ምሳሌ
መደመር	ሁለት m-በ-n ማትሪክሶች A' እና B ቢሰጡ ድምራቸው A+B በቀላሉ እያንዳንዱ አባላቸውን በመደመር እንዲህ ይቀመራል፡ (A + B)i,j = Ai,j + Bi,j, እዚህ ላይ 1 ≤ i ≤ m እና 1 ≤ j ≤ n.	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}}$
ስኬላር (ቁጥር) ብዜት	cA የማትሪክስ A እና ነጠላ ቁጥር c ብዜትን ቢወክል ውጤቱ እያንዳንዱን የ A አባል በቁጥር c በማባዛት እንዲህ ይገኛል: (cA)i,j = c · Ai,j.	${\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$
ዝውር	የአንድ m-በ-n ማትሪክስ A ዝውር መጠኑ n-በ-m ሲሆን አጻጻፉም AT ነው። ይህ ዝውር ማትሪክስ የሚገኘው መላ ረድፎቹን ወደ አምዶች በማዛወር ወይም አምዶቹን ወደ ረድፎቹ በማዛወር ነው። (AT)i,j = Aj,i.	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{T}={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}}$

ከላይ የተገለጹት ተግባራት ከማንኛውም የቁጥር ተግባራት ጋር የሚያመሳስላቸው አንድ አንድ ተግባራት አሉት። ለምሳሌ የማትሪክስ አደማመር ተገልባጭ ነው። ማለት A + B = B + A.^[1]

የማትሪክስ ዝውር ከመደመርና ከስኬላር ብዜት ጋር አብሮ ይሄዳል። ማለት፡ (cA)^T = c(A^T) እና (A + B)^T = A^T + B^T። በሌላ ጎን, (A^T)^T = A ።

ማጣቀሻ

1. Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5