ሰልፍ

ድርደራ የሒሳብ ጥናት ጽንሰ ሐሳብ ሲሆን የሚያገለገልገውም የሰልፈኛ ነገሮችን ቅደም-ተከተል በስንት አይነት መንገድ መቀየር እንዲቻል ለማወቅ ነው። ለምሳሌ <1,2,3> የተሰኙ የቁጥር ድርድሮች ቢሰጡን በ6ዓይነት መንገድ ልንደረድራቸው እንችላለን። እነርሱም(1፣2፣3)፣ (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), እና (3,2,1) ናቸው። በሌላ አነጋገር ሦስት ሰዎች አንድ አግዳሚ ወንበር ላይ በ6 ዓይነት መንገድ ሊቀመጡ (ሊደረደሩ) ይችላሉ፡፡ እንደዚህ አይነት ኩነቶችን ለማጥናት የሚያስችል የሂሳብ ቀመር ሰልፍይባላል።

3 ኳሶች በ6 ዓይነት መንገድ ሲፐወዙ

ድግግም የማይፈቀድበት ሰልፍ አቆጣጠር

n የየቅል የሆኑ ነገሮች ቢሰጡ፣ ቅደም ተከተላቸው በ

n×(n − 1)×(n − 2)×...×2×1, በሌላ አጻጻፍ "n ፋክቶሪያል" ወይንም "n!"

አይነት መንገድ ሊቀያየር ይችላል። ይሄ የሚሆንበት ምክንያት የመጀመሪያውን ነገር በ n መንገድ መንገድ መቀየር ስለሚቻል፣ የመጀመሪያው ምርጫ ከረጋ በኋላ የሚቀጥለውን ደግሞ በn-1፣ ሶስተኛውን በn-2 እያለ እስከ መጨረሻው 1 ድረስ ስለሚነጉድ ነው።

ለምሳሌ 4 የየቅል (የተለያዩ) ፊደሎች «ለሐመሰ» ቢሰጡ፣ በ 4! = 24 ዓይነት መንገድ ሊደረደሩ ይችላሉ። ማለት 4 ሰዎች አንድ አግዳሚ ወንበር ላይ በ24አይነት መንገድ ሊቀመጡ ይችላሉ። ከስር 24ቱም መንገዶች ቀርበዋል፦

ለሐመሠ ሐለመሠ መለሐሠ ሠለሐመ

ለሐሠመ ሐለሠመ መለሠሐ ሠለመሐ

ለመሐሠ ሐመለሠ መሐለሠ ሠሐለመ

ለመሠሐ ሐመሠለ መሐሠለ ሠሐመለ

ለሠሐመ ሐሠለመ መሠለሐ ሠመለሐ

ለሠመሐ ሐሠመለ መሠሐለ ሠመሐለ

የተወሰኑ አባላት ተወስደው ስለመደርደራቸው

10 አባላት ያሉት ሰልፈኛ ቢሰጥ <1, 2, …, 10>, በስንት አይነት መንገድ 3 አባላቱን ወስዶ ማሰለፍ ይቻላል፣ ለምሳሌ <2,3,1>። እዚህ ላይ አጠቃላይ የድርድሩ ብዛት n = 10 ሲሆን ለሰልፍ የሚመረጡት አባላት ብዛት r = 3 ነው። በስንት አይነት መንገድ ማሰለፉ ሙሉ በሙሉ ሊካሄድ ይችላል?

1. የመጀመሪያውን ቁጥር ከሁሉ ቁጥሮች n =10 ይመረጣል
2. የመጀመሪያው ምርጫ ከረጋ በኋላ ሁለተኛው ቁጥር ከቀሪዎቹ (n-1) = 9 ቁጥሮች ይመረጣል
3. ሦሥተኛው ቁጥር ከቀሪዎች ( n -2) =8 ቁጥሮች ይመረጣል
4. ከሦስት በላይ r ቁጥሮችን ሰልፍቢያስፈልግ ኖሮ በዚሁ መንገድ ምርጫው ይቀጥልና እስከ (n − r + 1) ምርጫዎች ሂደቱ ይቀጥል ነበር።

ስለሆነም አጠቃላዩ ፕወዛ

n(n − 1)(n − 2) … (n − r + 1)

ከn ድርድሮች ላይ r ነገሮች ተወስደው ሲፐወዙ የሚገኘው ውጤት ነው። ይህን ውጤት አቀላጥፎ ለመጻፍ ፋክቶሪያል መጠቀም ይቻላል።

ስለሆነም P(n, r) (ሲነበብ ከ n ላይ r ሲደረደር) ${\displaystyle P(n,r)={\frac {n!}{(n-r)!}}}$
	ውሱንና ድግግሞሽ የማይፈቀድበት ሰልፈኛ

ለምሳሌ 10 እጩዎች ለኩባንያ አለቃነት፣ ጸሐፊነትና፣ ገንዘብ ያዥነት ቀረቡ። በስንት አይነት መንገድ ከ10 ሰዎች 3 ሰዎች ሊቀጠሩ ይችላሉ?

ከ10 ሰዎች ውስጥ 3ቱን ወስዶ ከማሰለፍ ጋር አንድ አይነት ነው። ስለሆነም n =10 r = 3 => ${\displaystyle P(10,3)={\frac {10!}{(10-3)!}}={\frac {10*9*8*7!}{(7)!}}=720}$ በ720 ዓይነት መንገድ ኩባንያው ሰዎቹን መቅጥር ይችላል ማለት ነው።

ድግግሞሽ የሚፈቀድበት ድርደራ

በአንድ በተሰጠ ሰልፈኛ ውስጥ ${\displaystyle n}$ አባላት ቢገኙና ከነዚህ ውስጥ ${\displaystyle n_{1}}$ቱ አንድ አይነት ቢሆኑ፣ ${\displaystyle n_{2}}$ እንዲሁ አንድ አይነት ቢሆኑ ...እስከ ${\displaystyle n_{k}}$ ሌሎች አንድ አይነቶች ቢኖሩ እና ${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}}$, ቢሆኑ፣ ሊለዩ የሚችሉ የዚህ ሰልፈኛ ፓውዛዎች ብዛት ቀመር እንዲህ ነው፡ ${\displaystyle {n \choose n_{1},\dots ,n_{k}}={\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{k}!}}}$
	ድግግም ድርደራ

ለምሳሌ «ደበበ» የሚለው ቃል በስንት አይነት መንገድ ሊፐወዝ ይችላል?

እዚህ ላይ n=3፣ n_1 = 1 n_2 =2፣ ስለሆነም :${\displaystyle {\frac {3!}{2!\,1!}}={\frac {6}{2}}=3.}$ ። በ3 ዓይነት ሊፐወዝ ይችላል ማለት ነው፡

ደበበ በደበ በበደ

12ቱ የጥምረት ቀመሮች

n ኳሶችና x ቁናዎች ቢሰጡ ኳሶቹን በቁናዎቹ ውስጥ በስንት አይነት መንገድ ማስቀመጥ ይቻላል? ኳሶች -n ቁናዎች-x እንደልብ ኳስ በቁና ≤1 ኳስ በቁና ≥1 ኳስ በቁና የተሰየሙ የተሰየሙ ${\displaystyle x^{n}\,}$ ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ ${\displaystyle \textstyle x!\{{n \atop x}\}\,}$ ያልተሰየሙ የተሰየሙ ${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}}$ ${\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}}$ ${\displaystyle {\binom {n-1}{n-x}}}$ የተሰየሙ ያልተሰየሙ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}\left\{{n \atop k}\right\}}$ ${\displaystyle [n\leq x]}$ ${\displaystyle \left\{{n \atop x}\right\}}$ ያልተሰየሙ ያልተሰየሙ ${\displaystyle p_{x}(n+x)\,}$ ${\displaystyle [n\leq x]}$ ${\displaystyle p_{x}(n)\,}$